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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:58 Do 21.05.2009 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Bezeichne Dn die dihedrale Gruppe von Ordnung 2n und [mm] p_{\alpha} [/mm] die Drehung von [mm] \IR² [/mm] um [mm] \alpha [/mm] Radianten mit Zentrum [mm] \vektor{0\\ 0}. [/mm] Sei [mm] S\subset [/mm] D8 eine Menge, die D8 als Gruppe erzeugt und sei N [mm] \subset [/mm] D8 die Untergruppe N:={e, [mm] p_{\pi/2}, p_{\pi}, p_{-\pi/2}}.
[/mm]
Beweise folgende Aussagen:
a) Eine Untergruppe H [mm] \subset [/mm] D8 ist genau dann normal in D8, wenn [mm] sHs^{-1} [/mm] = H für alle s [mm] \in [/mm] S.
b) N ist Normal in D8. Hinweis: Benutze a)
c) D8/N ist isomorph zu D2. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, da ihr mir hier schon mal so effektiv und schnell geholfen habt, hoffe ich wieder auf euere Hilfe .
Ich habe wiklich keine Ahnung wie ich an die Aufgabe herangehen soll, bin also für jeden Tipp dankbar.
Hab irgendwo gelesen, dass alle zyklischen Untergruppen erzeugt von nur einem Element in der Diedergruppe Normalteiler sind, weiß aber nicht wie mir das weiter helfen soll.
Vielen Dank schon mal im Voraus,
Anette.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Fr 22.05.2009 | | Autor: | anetteS |
Die a) habe ich gelöst, denke ich. Bei der b) und c) habe ich leider noch keinen konkreten Ansatz.
Kann man die b) Vielleicht damit argumentieren, dass ich einfach ein S festlege: Sei S [mm] ={\pi/4, s}, [/mm] also eine 1/8-Drehung und eine Spiegelung.
Dann muss man mit a) [mm] sHs^{-1} [/mm] folgende Rechnungen durchführen:
[mm] \pi/4*e*(\pi/4)^{-1}=e
[/mm]
[mm] \pi/4*p_{\pi/2}*(\pi/4)^{-1}=p_{\pi/2}
[/mm]
...usw mit allen Drehungen aus N
und dann noch:
[mm] s*e*s^{-1}=e
[/mm]
[mm] s*p_{\pi/2}*s^{-1}=p_{\pi/2}
[/mm]
... usw mit allen Elementen aus N
Damit ist doch N Normalteiler, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 So 24.05.2009 | | Autor: | anetteS |
Kann sich den niemand erbarmen. Ich brauche es zu morgen, bitte!!!
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Hallo Annette,
> Die a) habe ich gelöst, denke ich. Bei der b) und c) habe
> ich leider noch keinen konkreten Ansatz.
>
> Kann man die b) Vielleicht damit argumentieren, dass ich
> einfach ein S festlege: Sei S [mm]={\pi/4, s},[/mm] also eine
> 1/8-Drehung und eine Spiegelung.
Nein, das reicht nicht. Aber $N$ besteht ja aus den geraden Potenyen von [mm]p_{\pi/4}[/mm]. Wenn Du also mit [mm]S \in D_8[/mm] gezeigt hast, daß [mm] S \cdot p_{\pi/2} \cdot S^{-1} \in N[/mm], dann liegt auch [mm](S \cdot p_{\pi/2} \cdot S^{-1})^2 =S \cdot p_{\pi/2}^2 \cdot S^{-1} \in N[/mm]. Entsprechend mit der 3mal hintereinanderausgeführten Vierteldrehung.
Und wenn man sich jetzt noch überlegt, daß für zwei vertauschbare Elemente [mm] a,b[/mm] einer Gruppe [mm]a \cdot b \cdot a^{-1}=b[/mm] gilt, dann kannst Du Dir die Fälle, in denen [mm]S[/mm] Potenz von [mm]p_{\pi/2}[/mm] ist, schenken .
Bleiben also noch [mm] S \in D_8 \setminus N[/mm] übrig; die müssen dann aber in 3 Nebenklasse nach N liegen ...
Zu c): [mm]D_2[/mm] ist ja isomorph zur Kleinschen Vierergruppe; also reicht es, wenn Du 2 Nebenklassen in [mm]D_8 / N[/mm] der Ordnung 2 suchst, die vertauschbar sind.
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 So 24.05.2009 | | Autor: | anetteS |
Ok, den größten Teil deiner Tipps habe ich verstanden, danke schön dafür.
Was ich nicht verstehe ist, wieso $ a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \cdot a^{-1}=b [/mm] $ hier gelten soll. Oder hat das damit zu tun, dass es egal ist ob ich zuerst Spiegele, dann drehe und dann nochmal spiegele? Ich steh echt total aufm Schlauch...
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Hallo Annette,
> Ok, den größten Teil deiner Tipps habe ich verstanden,
> danke schön dafür.
> Was ich nicht verstehe ist, wieso [mm]a \cdot b \cdot a^{-1}=b[/mm]
> hier gelten soll.
Das gilt erstmal nur in N.
> Oder hat das damit zu tun, dass es egal
> ist ob ich zuerst Spiegele, dann drehe und dann nochmal
> spiegele? Ich steh echt total aufm Schlauch...
Nein, die sind i.A. nicht vertauschbar. Ich hab's mit 2 X 2-Matrizen gerechnet: Die Matrix [mm]D\colon= \begin{pmatrix} 1/ \wurzel{2} & -1/ \wurzel{2} \\ 1 / \wurzel{2} & 1/ \wurzel{2} [/mm] beschreibt eine Drehung um 45° mit Zentrum [mm] (0,0)[/mm]; und [mm]S:= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}[/mm] beschreibt eine Spiegelung an der x-Achse. Dann ist [mm] S \cdot D=D^-1 \cdot S[/mm].
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mo 25.05.2009 | | Autor: | anetteS |
Danke schön, ich habs jetzt endlich!
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