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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mo 17.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Die Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks heißt Diedergruppe [mm] (D_{n})
[/mm]
Die Punkte des regelmäßigen n-Ecks können durch die Menge [mm] M=\{P_{i}\}=\{(cos(\bruch{2\pi k}{n}), sin(\bruch{2\pi k}{n}))\} [/mm] beschrieben werden
Die Elemente aus [mm] D_{n} [/mm] setzen sich also aus den Drehungen [mm] r_{k}=\pmat{ cos(\bruch{2\pi k}{n}) & -sin(\bruch{2\pi k}{n}) \\ sin(\bruch{2\pi k}{n}) & cos(\bruch{2\pi k}{n}) } [/mm] und den Spiegelungen [mm] s_{k}=\pmat{ cos(\bruch{2\pi k}{n}) & sin(\bruch{2\pi k}{n}) \\ sin(\bruch{2\pi k}{n}) & -cos(\bruch{2\pi k}{n}) } [/mm] zusammen |
Hallo zusammen,
ich versuche gerade mir die Diedergruppe, sowie die Bahnengleichungen anhand der entsprechenden Zusammenhänge bzgl. des regelmäßigen 4-Ecks praktisch zu verdeutlichen.
Leider klappt das Ganze nicht so wie es sollte. Vielleicht kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt!?
[mm] M=\{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\}
[/mm]
[mm] D_{4}=\{ p_{1}, ... , p_{4}, s_{1}, ... , s_{4} \} [/mm] wobei [mm] p_{i}, s_{i} [/mm] wie oben definiert
Somit ergibt sich für die Bahnen von [mm] D_{4}: [/mm]
[mm] D_{4}P_{i}=\{g \* P_{i} | g \in D_{4}\}=M \Rightarrow |D_{4}|=|M|
[/mm]
Ich denke, dass bis hierhin alles richtig ist und mein Fehler deshalb in den Stabilisatoren liegen muss.
Denn meiner Meinung sehen diese wie folgt aus:
[mm] D_{4P_{i}}=\{g \in D_{4} | g \* P_{i}=P_{i}\}=\{r_{4}\}, [/mm] wobei [mm] r_{4}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] entsprechend obiger Definition.
Also ich sehe nicht, welches andere Element der Diedergruppe einen Punkt des regelmäßigen 4-Ecks stabilisiert.
Doch dann müsste nach der Bahnengleichung ( |G| = [mm] |G_{x}| [/mm] * |Gx|) gelten:
[mm] |D_{4}| [/mm] = [mm] |D_{4}P_{i}| [/mm] * [mm] |D_{4P_{i}}| [/mm] = 4 * 1 = 4
Aber offensichtlich hat die Diedergruppe doch 2n, in diesem Fall also 8 Elemente!?
Würde mich freuen, wenn mich jemand aufklären könnte.
Grüße,
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo Patrick!
> [mm]M=\{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\}[/mm]
>
> [mm]D_{4}=\{ p_{1}, ... , p_{4}, s_{1}, ... , s_{4} \}[/mm] wobei
> [mm]p_{i}, s_{i}[/mm] wie oben definiert
>
> Somit ergibt sich für die Bahnen von [mm]D_{4}:[/mm]
>
> [mm]D_{4}P_{i}=\{g \* P_{i} | g \in D_{4}\}=M \Rightarrow |D_{4}|=|M|[/mm]
>
> Ich denke, dass bis hierhin alles richtig ist und mein
> Fehler deshalb in den Stabilisatoren liegen muss.
>
> Denn meiner Meinung sehen diese wie folgt aus:
>
> [mm]D_{4P_{i}}=\{g \in D_{4} | g \* P_{i}=P_{i}\}=\{r_{4}\},[/mm]
> wobei [mm]r_{4}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] entsprechend obiger
> Definition.
>
> Also ich sehe nicht, welches andere Element der
> Diedergruppe einen Punkt des regelmäßigen 4-Ecks
> stabilisiert.
Das Problem ist, dass der Stabilisator für jeden Punkt unterschiedlich aussieht. Neben der identischen Rotation (r4) kommt nämlich noch eine Spiegelung hinzu, die den betreffenden Punkt stabilisiert, aber andere Punkte nicht invariant lässt. Nehmen wir den Punkt (1,0), so siehst du, dass auch s4 im Stabilisator von (1,0) liegt. So findest du zu jedem Punkt noch eine Spiegelung, die das tut. (Es ist übrigends klar, dass damit der gegenüberliegende Punkt auf dem n-Eck den gleichen Stabilisator besitzt.)
>
> Doch dann müsste nach der Bahnengleichung ( |G| = [mm]|G_{x}|[/mm]
> * |Gx|) gelten:
>
> [mm]|D_{4}|[/mm] = [mm]|D_{4}P_{i}|[/mm] * [mm]|D_{4P_{i}}|[/mm] = 4 * 1 = 4
>
> Aber offensichtlich hat die Diedergruppe doch 2n, in diesem
> Fall also 8 Elemente!?
>
> Würde mich freuen, wenn mich jemand aufklären könnte.
>
> Grüße,
> Patrick
>
>
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 17.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
ok, der unterschied liegt also darin, dass die bahnen hier alle gleich also "unabhängig" von den entsprechenden Pkt. sind, weil es sich um eine symmetriegruppe handelt, wohingegen die stabilisatoren vn den entsprechenden pkt. abhängen und zumindest in diesem fall dadurch bzgl. ihrer elemente ungleich sind.
allerdings unterscheiden sie sich nicht bzgl. ihrer ordnung.
richtig verstanden?
ich hab mich wohl von der gleichheit der bahnen verwirren lassen.
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
> siehe vorige
> ok, der unterschied liegt also darin, dass die bahnen hier
> alle gleich also "unabhängig" von den entsprechenden Pkt.
> sind, weil es sich um eine symmetriegruppe handelt,
> wohingegen die stabilisatoren vn den entsprechenden pkt.
> abhängen und zumindest in diesem fall dadurch bzgl. ihrer
> elemente ungleich sind.
>
> allerdings unterscheiden sie sich nicht bzgl. ihrer
> ordnung.
>
> richtig verstanden?
Ja genau so ist es.
Gruß Micha
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