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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Sandra21 |
Hallo zusammen
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen.
Eine Konservensdose mit 850ml Inhalt soll so gebaut werden, dass der Blechverbrauch minimal ist. Wir vernachlässigen die Falznähte und nehmen an, dass es sich bei der Dose um einen einfachen Zylinder handelt.
Wie hoch ist die Dose und welchen Durchmesser hat sie?
Danke euch
Sandra
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandra,
hast Du denn überhaupt keine eigenen Lösungsansätze / Ideen?
(Be-)Schreib' doch mal bitte Deine genauen Probleme bei dieser Aufgabe bzw. wie weit Du kommst.
Gegenfrage(n):
Welche Formeln aus der Geometrie kennst Du, die wir hier verwenden können und wie lauten diese?
Wie können wir diese Formeln miteineinader kombinieren und/oder umformen?
Grüße
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Ich geb dir mal zwei Formeln die du brauchen wirst:
Oberfläche eines Zylinders:
O(r,h)= 2r [mm] \pi [/mm] *(r+ h)
O... Oberfläche d. Zylinders
r... Radius der Grundfläche
h... Höhe des Zylinders
Volumen:
V(r,h)= r² [mm] \pi [/mm] h
V... Volumen
Nun ein kleiner Tipp:
Du hast das Volumen ja gegeben, also drück dir mal aus der Volumsformel die Höhe aus;
setz das dann in die Formel für die Oberfläche ein und du erhältst die Oberfläche in Abhängigkeit des Radius.
Aus dieser Funktion berechnest du dir das lokale Minimum (1. Ableitung, 0-setzten,...)
Hoff das hilft dir mal weiter.
Liebe Grüße,
Nilez
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Di 14.12.2004 | | Autor: | Sandra21 |
Hallo
Danke für den Ansatz.
Ich habe es so gemacht wie du es mir vorgeschlgen hast.
Nun habe ich die Oberfläche in Abhängigkeit von r nach der Produktregel und Quotientenregel abgeleitet.
Doch wie bekomme ich eine minimale Oberfläche heraus, wenn ich nicht weiß was r ist ( wie groß r ist ) ?
Kannst du mir da weiterhelfen oder jemand anderes.
Danke
Sandra
Danke
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Hallo Sandra,
>
> Danke für den Ansatz.
> Ich habe es so gemacht wie du es mir vorgeschlgen hast.
Und wie sieht nun deine Funktion aus?
> Nun habe ich die Oberfläche in Abhängigkeit von r nach der
> Produktregel und Quotientenregel abgeleitet.
bitte zeigen ...
> Doch wie bekomme ich eine minimale Oberfläche heraus, wenn
> ich nicht weiß was r ist ( wie groß r ist ) ?
Wie findest du denn bei anderen Funktionen das Minimum heraus?! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Das hast du doch bestimmt schon x-mal berechnet, oder?
> Kannst du mir da weiterhelfen oder jemand anderes.
>
> Danke
>
> Sandra
>
> Danke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Sandra21 |
Also ich habe als Funktion folgendes herausbekommen
Oberfläche in Abhängigkeit von r
O(r)= 2 [mm] \pir [/mm] * (r+(850ml/ [mm] \pir^2)
[/mm]
Und dies abgeleitet nach Produkt und Quoienténregel
O´(r)=(1700+2 [mm] \pir^2+2-3400 \pi)/r
[/mm]
Ist das richtig?
Wie bekomme ich nun einen minimalen Blechverbrauch die Höhe der Dose sowie den Durchmesser heraus?
Kann mir jemand helfen.
Danke
Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandra,
> Also ich habe als Funktion folgendes herausbekommen
>
> Oberfläche in Abhängigkeit von r
>
> O(r)= 2 [mm]\pi r[/mm] * (r+(850ml/ [mm]\pi r^2)[/mm]
Ich unterstelle Dir mal, daß Du das richtige meinst  :
$O(r)= 2 [mm] \pi [/mm] r * (r + [mm] \bruch{850}{\pi r^2})$
[/mm]
> Und dies abgeleitet nach Produkt und Quoienténregel
>
> [mm]O'(r)=(1700+2 \pi r^2+2-3400 \pi)/r[/mm]
> Ist das richtig?
Das haut so nicht hin.
Tipp: Forme die Gleichung doch erst mal um:
$O(r)= 2 [mm] \pi [/mm] r * (r + [mm] \bruch{850}{\pi r^2})$
[/mm]
$O(r)= 2 [mm] \pi r^2 [/mm] + [mm] \bruch{1700}{r}$
[/mm]
$O(r)= 2 [mm] \pi r^2 [/mm] + [mm] 1700*r^{-1}$
[/mm]
Aus dieser Darstellung gelingt die Ableitung doch bestimmt (Du brauchst nämlich weder Produkt- noch Quotientenregel ...)
> Wie bekomme ich nun einen minimalen Blechverbrauch die Höhe
> der Dose sowie den Durchmesser heraus?
Für derartige Extremalaufgaben mußt Du nun die Nullstelle(n) [mm] $r_E$ [/mm] der 1. Ableitung bestimmen und zeigen, daß die 2. Ableitung an genau dieser Stelle [mm] $O''(r_E) [/mm] > 0$ ist, damit es sich um ein relatives Minimum handelt.
Grüße Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Gorky |
hi! So eine Lösungs Idee:
V(r,h) = 0,85 = [mm] \pi r^{2} [/mm] h => h= [mm] \bruch{0,85}{ \pi r^{2}}
[/mm]
M(r,h) = [mm] 2\pi r^{2} [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] r*h
SUche: r,h für die 0,85= [mm] \pi r^{2}*h [/mm] gilt und M(r,h) minimal ist
M(r) =2 [mm] \pi r^{2} [/mm] +2 [mm] \pi [/mm] r [mm] \bruch{0,85}{ \pi r^{2}}=2 \pi r^{2}+ \bruch{1,7}{r}
[/mm]
Ableite diese gleichun nach r
Behaupte [mm] M^{'}(r)= [/mm] 4 [mm] \pi r-\bruch{1,7}{r^{2}}=0
[/mm]
=> r= [mm] \wurzel[3] {\bruch{1,7}{4 \pi}}
[/mm]
Zweite Ableitung
[mm] M^{''}(r) [/mm] =4 [mm] \pi [/mm] + [mm] \bruch{3,4}{ r^{3}}
[/mm]
Also [mm] M^{''}(\wurzel[3] {\bruch{1,7}{4 \pi}}) [/mm] = 12 [mm] \pi [/mm] > 0
Also [mm] \wurzel[3] {\bruch{1,7}{4 \pi}} [/mm] ist Min von M(r)
=> h= [mm] \bruch{0,85}{\pi* \wurzel[3] {\bruch{1,7}{4 \pi}}^{2}} \approx [/mm] 1,03 und [mm] r=\wurzel[3] {\bruch{1,7}{4 \pi}} \approx [/mm] 0,513. Also das ist min radius.
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