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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Fr 29.04.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | | Analog zu den Polarkoordinaten im [mm] R^2 [/mm] kann man Kugelkoordinaten im [mm] R^3 [/mm] definieren: Einem Punkt (x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] ordnen wir das Tripel [mm] (r,\Phi,\phi) [/mm] zu, wobei r [mm] \in [/mm] R^+ die Länge der Verbindungsstrecke des Punktes zum Ursprung ist, [mm] \Phi \in [0,\pi] [/mm] der Winkel zwischen der z-Achse und der Strecke und [mm] \phi \in [0,2\pi] [/mm] der Winkel zwischen x-Achse und der Projetion der Strecke auf die x-y-Ebene. Umgekehrt erhalten wie (x,y,z) aus [mm] (r,\Phi,\phi) [/mm] durch die Abbildung [mm] f:R->R^3 [/mm] mit [mm] (r,\Phi,\phi) [/mm] -> [mm] (rsin(\Phi)cos(\phi), rsin(\Phi)sin(\phi),rcos(\Phi)) [/mm] (eingeschränkt auf R^+ x [mm] [0,\pi] [/mm] x [mm] [0,2\pi]). [/mm] Zeigen Sie, dass f differenzierbar in jedem Punkt a [mm] \in R^3 [/mm] ist und bestimmen Sie die Jacobi-Matrix [mm] J_{f}(a) [/mm] |
Hallo zusammen, ich hänge irgendwie beim Ansatz, wie ich zeigen kann, dass f diff'bar ist. Könnt Ihr mir da weiterhelfen? Für die Jacobi-Matrix hab ich folgendes errechnet:
[mm] \pmat{ sin(\Phi)cos(\phi) & rcos(\Phi)cos(\phi) & -rsin(\Phi)sin(\phi) \\ sin(\Phi)sin(\phi) & rcos(\Phi)sin(\phi) & rsin(\Phi)cos(\phi) \\
cos(\Phi) & r & 0}
[/mm]
Passt das?
DANKE für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Fr 29.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Ihr hattet sicher den folgenden
Satz:
Ist $D [mm] \subset \IR^n [/mm] offen$ , $f:D [mm] \to \IR^m$ [/mm] eine Funktion,
ist f auf D partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen auf D stetig, so ist f auf D differenzuerbar.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 29.04.2016 | | Autor: | Schobbi |
Ja, der Satz kommt mir bekannt vor 
Jetzt muss ich also "nur" noch zeigen, dass alle partiellen Ableitungen, also alle Einträge in der Jacobi-Matrix stetig sind, oder?
Oder kann ich einfach sagen, dass sie stetig sind aus Verknüpfung stetiger Funktionen? Reicht das aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 29.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ja, der Satz kommt mir bekannt vor
>
> Jetzt muss ich also "nur" noch zeigen, dass alle partiellen
> Ableitungen, also alle Einträge in der Jacobi-Matrix
> stetig sind, oder?
Ja
>
> Oder kann ich einfach sagen, dass sie stetig sind aus
> Verknüpfung stetiger Funktionen?
Ja
> Reicht das aus?
Mir würde das reichen.
FRED
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