Diffbarkeit R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Do 23.06.2011 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] , f(x,y)=|x-y|xy
soll auf Diffbarkeit (partiell, Frechet) untersucht werden. |
Bisher habe ich f umgeschrieben in:
[mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
x^2y-xy^2, & \mbox{für }x>y \\
0, & \mbox{für }x=y \\
xy^2-x^2y &\mbox{für}x
Damit habe ich die partiellen Ableitungen:
[mm] f_x(x,y)=\left\{\begin{matrix}
2xy-y^2, & \mbox{für }x>y \\
??, & \mbox{für }x=y \\
y^2-2xy &\mbox{für}xy \\
??, & \mbox{für }x=y \\
2xy-x^2 &\mbox{für}x
Hier stellt sich für mich die erste Frage. Wie kann ich die Abl. für x=y bestimmen. Kann ich [mm] \limes_{t\rightarrow0}\bruch{f(x+t,y)-f(x,y)}{t}=\limes_{t\rightarrow0}\bruch{t(x+t)y}{t}=\limes_{t\rightarrow0}\bruch{t(xy+yt)}{t}=xy=x^2= \limes_{t\rightarrow0}\bruch{f(x,y+t)-f(x,y)}{t} [/mm] verwenden?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 23.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Für x=y ist
[mm] \bruch{f(x+t,x)-f(x,x)}{t}=\bruch{|t|(x^2+xt)}{t}.
[/mm]
Jetzt Fallunterscheidung: t>0, t<0
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:33 Do 23.06.2011 | | Autor: | snikch |
Danke fred
für t>0 habe ich dann [mm] x^2
[/mm]
für t<0 [mm] -x^2
[/mm]
Damit habe ich zwei verschieden Grenzwerte, so dass f für x=y nicht partiell diffbar ist. Damit ist f in diesen Punkten auch nicht Frechet-diffbar.
Für die restlichen Punkte werde ich [mm] f(x+\varepsilon)=f(x)+f'(x)\varepsilon +r(\varepsilon) [/mm] aufstellen und gucken ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{r(\varepsilon)}{\parallel\varepsilon\parallel} \to [/mm] 0 gilt bzw die part. Abl. auf Stetigkeit überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 24.06.2011 | | Autor: | snikch |
Hi
noch eine Frage.
Reicht es nun aus die Stetigkeit der partiellen Abl. dadurch zu begründen, dass diese als Differenz stetiger Funktionen wieder stetig sein müssen, oder muss ich mit dem [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Kriterium ran?
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Hallo snikch,
> Hi
> noch eine Frage.
> Reicht es nun aus die Stetigkeit der partiellen Abl.
> dadurch zu begründen, dass diese als Differenz stetiger
> Funktionen wieder stetig sein müssen, oder muss ich mit
> dem [mm]\varepsilon-\delta[/mm] Kriterium ran?
Die Begründung, daß die Differenz stetiger Funktionen
wieder stetig ist, reicht vollkommen aus.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 25.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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