Differentialgeometrie < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall und [mm] \gamma: I\to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Die parametrisierte Kurve [mm] \alpha: [/mm] I [mm] \to \IR
[/mm]
[mm] \alpha(t)=(\integral_{t0}^{t}{cos(\integral_{t0}^{\mu}{\gamma(\partial) d\partial} ) d\mu},\integral_{t0}^{t}{sin(\integral_{t0}^{\mu}{\gamma(\partial) d\partial} ) d\mu} [/mm] ) [mm] (t0\in [/mm] I)
ist regulär und nach der Länge parametrisiert mit orientierter Krümmung. |
Hallo liebe Matheexperten,
ich sitze seit Stunden an dieser Aufgabe und ich kriege einfach keinen richtigen Ansatz...ich hab versucht, das Integral [mm] \integral_{t0}^{\mu}{\gamma(\partial) d\partial} [/mm] zu substituieren, aber auch das klappt nicht richtig. Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass
i) [mm] \alpha'(t) [/mm] ungleich 0 ist für alle [mm] t\in [/mm] I --> dann folgt regulär
ii) [mm] |\alpha'| [/mm] = 1 . Dann folgt nach der Länge parametrisiert
iii) und ich weiß auch, was mit der orientierten Krümmung gemeint ist.
Aber wie kann ich die Kurve Alpha ableiten, um obiges zu zeigen?
Ich wäre echt sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mo 24.06.2013 | | Autor: | hippias |
> Seien I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und [mm]\gamma: I\to \IR[/mm] eine
> differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Die parametrisierte
> Kurve [mm]\alpha:[/mm] I [mm]\to \IR[/mm]
>
> [mm]\alpha(t)=(\integral_{t0}^{t}{cos(\integral_{t0}^{\mu}{\gamma(\partial) d\partial} ) d\mu},\integral_{t0}^{t}{sin(\integral_{t0}^{\mu}{\gamma(\partial) d\partial} ) d\mu}[/mm]
> ) [mm](t0\in[/mm] I)
> ist regulär und nach der Länge parametrisiert mit
> orientierter Krümmung.
> Hallo liebe Matheexperten,
>
> ich sitze seit Stunden an dieser Aufgabe und ich kriege
> einfach keinen richtigen Ansatz...ich hab versucht, das
> Integral [mm]\integral_{t0}^{\mu}{\gamma(\partial) d\partial}[/mm]
> zu substituieren, aber auch das klappt nicht richtig. Ich
> weiß, dass ich zeigen muss, dass
> i) [mm]\alpha'(t)[/mm] ungleich 0 ist für alle [mm]t\in[/mm] I --> dann
> folgt regulär
> ii) [mm]|\alpha'|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 1 . Dann folgt nach der Länge
> parametrisiert
> iii) und ich weiß auch, was mit der orientierten
> Krümmung gemeint ist.
> Aber wie kann ich die Kurve Alpha ableiten, um obiges zu
> zeigen?
Vielleicht dient es der Uebersicht, wenn man schreibt $\integral_{t0}^{\mu}{\gamma(\partial) d\partial=: \Gamma(\mu)$. Dann lautet Deine Funktion $\alpha(t)=(\integral_{t0}^{t}{cos(\Gamma(\mu)) d\mu},\integral_{t0}^{t}{sin(\Gamma(\mu) ) d\mu})$. Dies laesst sich sehr gut nach $t$ ableiten, wenn Du beachtest, dass $F(t):= \integral_{t_{0}}^{t}f(x)dx$ eine Stammfunktion von $f$ ist, also $F'=f$ ist.
> Ich wäre echt sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte.
|
|
|
| |
|
Hallo,
dankeschön ;). Stimmt, aber ist es dann nicht zu einfach? Ich krieg dann Folgendes raus:
[mm] \alpha'(t)=(cos(\Gamma [/mm] (t)), sin [mm] (\Gamma [/mm] (t))
Also folgt direkt, dass [mm] \alpha'(t)\not=0 [/mm] ist, da Sinus und Cosinus ja nie gleichzeitig 0 sind. Außerdem ist der Betrag von [mm] \alpha' [/mm] = [mm] \wurzel{cos^2(\Gamma(t) +sin^2(\Gamma(t)}=1.
[/mm]
Und dann ist noch zu zeigen, dass es K gibt, sodass t'(t)=K(t)*n(t), wobei t der Tangentenvektor ist und n der Normalenvektor. Da aber die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert ist, gilt doch: t'(t)= [mm] \alpha''= (-sin(\Gamma(t))*\Gamma'(t), cos(\Gamma(t))*\Gamma'(t)) [/mm] = [mm] \gamma [/mm] (t) * n. Und damit ist doch alles gezeigt, oder? Wo liegt der Fehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Di 25.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du aud [mm] \Gamma(t) [/mm] statt [mm] \Gamma(\mu)?
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
|
