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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Mi 17.06.2015
Autor: Schlumpf004

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f(x,y)= [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}x^2 +y^3 [/mm] -12y + 2011

Bestimmen Sie die 4 kritischen Stellen der Funktion und untersuchen Sie, ob es sich hierbei um Extrem - oder Sattelstellen handelt. Untersuchen Sie im Falle einer Extremstelle auch, ob es sich um eine Minimal- oder Maximalstelle handelt.
(Hinweis: Die Funktionswerte an den kritischen Stellen brauchen nicht berechnet zu werden.)

Hallo,

ich habe es gerechnet und habe eine Frage an einer Stelle.

[mm] f_{x}= x^2 [/mm] - 3x
[mm] f_{xx} [/mm] = 2x - 3

[mm] f_{y} [/mm] = [mm] 3y^2 [/mm] - 12
[mm] f_{yy} [/mm] = 6y
[mm] f_{xy} [/mm] = 0

[mm] f_{x} [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] - 3x = 0
x(x-3)= 0

x=0   x=3

[mm] f_{y} [/mm] =0
[mm] 3y^2 [/mm] - 12=0
y= [mm] \pm [/mm] 2

Lösung lautet:

An den Stellen [mm] \overrightarrow{k}_{1} [/mm] = (0,2)  und [mm] \overrightarrow{k}_{2} [/mm] = (3,-2) befinden sich Sattelpunkte,
bei [mm] \overrightarrow{k}_{3} [/mm] = (0,-2) eine Maximal- , bei [mm] \overrightarrow{k}_{4} [/mm] = (3,2) eine Minimalstelle.

So und meine Frage ist das egal ob ich x=0 y=2  oder x=0 y= -2  nehme ?

LG

        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Mi 17.06.2015
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

erstmal: wieso stellst du das ins Forum 'Differentialgleichungen' ?

> Gegeben sei die Funktion f(x,y)= [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{2}x^2 +y^3[/mm] -12y + 2011
>  
> Bestimmen Sie die 4 kritischen Stellen der Funktion und
> untersuchen Sie, ob es sich hierbei um Extrem - oder
> Sattelstellen handelt. Untersuchen Sie im Falle einer
> Extremstelle auch, ob es sich um eine Minimal- oder
> Maximalstelle handelt.
>  (Hinweis: Die Funktionswerte an den kritischen Stellen
> brauchen nicht berechnet zu werden.)
>  Hallo,
>  
> ich habe es gerechnet und habe eine Frage an einer Stelle.
>  
> [mm]f_{x}= x^2[/mm] - 3x
>  [mm]f_{xx}[/mm] = 2x - 3
>  
> [mm]f_{y}[/mm] = [mm]3y^2[/mm] - 12
>  [mm]f_{yy}[/mm] = 6y
>  [mm]f_{xy}[/mm] = 0
>  
> [mm]f_{x}[/mm] = 0
>  [mm]x^2[/mm] - 3x = 0
>  x(x-3)= 0
>  
> x=0   x=3
>  
> [mm]f_{y}[/mm] =0
>   [mm]3y^2[/mm] - 12=0
>  y= [mm]\pm[/mm] 2
>  
> Lösung lautet:
>  
> An den Stellen [mm]\overrightarrow{k}_{1}[/mm] = (0,2)  und
> [mm]\overrightarrow{k}_{2}[/mm] = (3,-2) befinden sich
> Sattelpunkte,
>  bei [mm]\overrightarrow{k}_{3}[/mm] = (0,-2) eine Maximal- , bei
> [mm]\overrightarrow{k}_{4}[/mm] = (3,2) eine Minimalstelle.
>  
> So und meine Frage ist das egal ob ich x=0 y=2  oder x=0 y=
> -2  nehme ?

Was meinst du damit?
Das Max ist an (x,y)=(0,-2) und nicht an (x,y)=(0,2) -also nicht egal -  falls du das meinst mit : *ist das egal ob ich x=0 y=2  oder x=0 y= -2  nehme ?*
Ps: deine Rechnung hab ich nicht nachgerechnet, aber wolframalpha sagt, dass deine MAx/min Stellen richtig sind.

>  
> LG

LG


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Mi 17.06.2015
Autor: Schlumpf004

Ich glaube sie haben mich falsch verstanden..

Das ist nicht mein Ergebnis am Ende was ich da hingeschrieben habe sondern vom Prof. was oben mit der Rechnung ist , das ist meiner.

Wenn ich x= 0 und y=2  , x=3 und y=-2 nehme. Da komme ich auf 2 Sattelstellen ja.

Aber ! Muss ich dann auch x=0   y= -2 , x= 3   y= 2 nehmen um auf die Extremstellen zu kommen. Problem hier ist dass man bei  [mm] f_{xx} [/mm] kein y hat und bei  [mm] f_{yy} [/mm] kein x   sodass man sehen kann was sich 0 ergibt.

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mi 17.06.2015
Autor: MathePower

Hallo Schlumpf004,

> Ich glaube sie haben mich falsch verstanden..
>  
> Das ist nicht mein Ergebnis am Ende was ich da
> hingeschrieben habe sondern vom Prof. was oben mit der
> Rechnung ist , das ist meiner.
>  
> Wenn ich x= 0 und y=2  , x=3 und y=-2 nehme. Da komme ich
> auf 2 Sattelstellen ja.
>  
> Aber ! Muss ich dann auch x=0   y= -2 , x= 3   y= 2 nehmen
> um auf die Extremstellen zu kommen. Problem hier ist dass
> man bei  [mm]f_{xx}[/mm] kein y hat und bei  [mm]f_{yy}[/mm] kein x   sodass
> man sehen kann was sich 0 ergibt.


Es sind alle Lösungen auf das Vorliegen von
Extrema bzw.. Sattelpunkte zu untersuchen.

Dass hier bei den angegebenen Lösungen die zweite
partielle Ableitung nach x kein y bzw. die zweite partielle
Ableitung nach y kein x hat spielt keine Rolle.


Gruss
MathePower

Bezug
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