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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 08.01.2005 | | Autor: | mando |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe ist: Seien [mm] a,b\in \IR [/mm] gegeben. Dann gibt es für hinreichend kleine [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine differenzierbare Funktion f : [mm] ]a-\varepsilon,a+\varepsilon[ \to \IR, [/mm] welche den Gleichungen f' = f² und f(a) = b genügt. Je zwei dieser Funktionen stimmen auf dem Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche überein.
Ich habe zunächst:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] f^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\bruch{df}{f^{2}} [/mm] = dx
[mm] \Rightarrow\integral_{}^{} {\bruch{1}{f^{2}} df} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1 dx} [/mm]
[mm] \Rightarrow-\bruch{1}{f} [/mm] = x + c
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] -\bruch{1}{x+c}
[/mm]
Außerdem muss gelten: f(a)=b, also:
f(a) = [mm] -\bruch{1}{a+c} [/mm] = b
[mm] \gdw [/mm] c = [mm] -\bruch{1}{b} [/mm] - a
Insgesamt : f(x) = [mm] -\bruch{1}{x-\bruch{1}{b} - a}
[/mm]
Ich habe also eine solche Funktion gefunden. Jetzt zu meinen Fragen:
1) Ist das so in Ordnung?
2) Was muss ich zu:"Je zwei dieser Funktionen stimmen auf dem Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche überein." machen? Unser Übungsleiter sagte uns wir sollen die Eindeutigkeit zeigen, aber ist f denn nicht schon durch a und b eindeutig bestimmt? Oder wie muss ich das verstehen??
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Hallo mando!
Du schriebst:
> Außerdem muss gelten: f(a)=f(b), also:
hast dann aber so gerechnet:
> f(a) = [mm]-\bruch{1}{a+c}[/mm] = b
d.h.: f(a)=b
Falls die Bedingung hätte f(a)=b lauten sollen, dann hast Du alles richtig gemacht, falls die Bedingung so stimmt, wie Du sie angegeben hast, dann hätte ich gene etwas mehr über das b gesußt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 So 09.01.2005 | | Autor: | mando |
JO, danke. Muss f(a) = b heißen, hab ich korrigiert.
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