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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Di 08.02.2011 | | Autor: | hamma |
Hallo, ich habe die bernoullische aufgabe ausführlich hingeschrieben, vielleicht ist mir ein fehler schon vorher unterlaufen. das problem liegt bei mir mit der speziellen lösung. die aufgabe lautet:
[mm] 2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0
[/mm]
Zuerst sollte man die Gleichung in eine lineare DGL überführen:
[mm] 2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0 /:y^3
[/mm]
[mm] \bruch{2y'}{y^3}-\bruch{y}{xy^3}=-cos(x)
[/mm]
und dann sollte man eine substitution durchführen mit der regel:
[mm] z=y^{1-\alpha}, [/mm] also [mm] z=y^{1-3}=\bruch{1}{y^2}
[/mm]
[mm] z'=-\bruch{2y'}{y^3} [/mm] , [mm] y'=-\bruch{z'*y^3}{2}
[/mm]
eingesetzt in die inhomogene DGL ergibt:
[mm] z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)
[/mm]
so, jetzt kann ich die homogene Dgl berechnen:
[mm] z'-\bruch{z}{x}=0
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{dz}{z}}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x} }
[/mm]
[mm] ln(z)=ln(x)+ln(\pm [/mm] k)
[mm] z_{H}=x*C [/mm] das wäre jetzt meine homogene lösung.
jetzt komme ich zum problemfall, die spezielle lösung mit variation der konstanten:
der Ansatz lautet:
[mm] z_{s}=C(x)*e^x
[/mm]
[mm] z_{s}'=C'(x)*e^x+C(x)*e^x
[/mm]
das setze ich jetzt in die substituirte inhomogene DGl ein was ich schon berechnet habe:
[mm] z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)
[/mm]
[mm] C'(x)*e^x+C(x)*e^x-\bruch{C(x)*e^x}{x}=-cos(x)
[/mm]
jetzt weis ich nicht wie ich weiterrechnen soll, in den anderen ähnlichen aufgaben konnte ich dann immer kürzen, C'(x) integrieren und das integrierte C(x) in den ansatz einsetzten. so hätte ich dann meine spezielle lösung gehabt.
gruß hamma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 08.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe die bernoullische aufgabe ausführlich
> hingeschrieben, vielleicht ist mir ein fehler schon vorher
> unterlaufen. das problem liegt bei mir mit der speziellen
> lösung. die aufgabe lautet:
>
> [mm]2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0[/mm]
>
> Zuerst sollte man die Gleichung in eine lineare DGL
> überführen:
>
> [mm]2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0 /:y^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{2y'}{y^3}-\bruch{y}{xy^3}=-cos(x)[/mm]
>
>
> und dann sollte man eine substitution durchführen mit der
> regel:
>
> [mm]z=y^{1-\alpha},[/mm] also [mm]z=y^{1-3}=\bruch{1}{y^2}[/mm]
>
> [mm]z'=-\bruch{2y'}{y^3}[/mm] , [mm]y'=-\bruch{z'*y^3}{2}[/mm]
>
> eingesetzt in die inhomogene DGL ergibt:
>
> [mm]z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)[/mm]
>
> so, jetzt kann ich die homogene Dgl berechnen:
>
> [mm]z'-\bruch{z}{x}=0[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{dz}{z}}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x} }[/mm]
>
> [mm]ln(z)=ln(x)+ln(\pm[/mm] k)
>
> [mm]z_{H}=x*C[/mm] das wäre jetzt meine homogene lösung.
>
>
> jetzt komme ich zum problemfall, die spezielle lösung mit
> variation der konstanten:
> der Ansatz lautet:
>
> [mm]z_{s}=C(x)*e^x[/mm]
Wie kommst Du denn auf diesen Ansatz ???
Richtig lautet der Ansatz: [mm]z_{s}=C(x)*x[/mm]
FRED
>
> [mm]z_{s}'=C'(x)*e^x+C(x)*e^x[/mm]
>
> das setze ich jetzt in die substituirte inhomogene DGl ein
> was ich schon berechnet habe:
>
> [mm]z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)[/mm]
>
> [mm]C'(x)*e^x+C(x)*e^x-\bruch{C(x)*e^x}{x}=-cos(x)[/mm]
>
> jetzt weis ich nicht wie ich weiterrechnen soll, in den
> anderen ähnlichen aufgaben konnte ich dann immer kürzen,
> C'(x) integrieren und das integrierte C(x) in den ansatz
> einsetzten. so hätte ich dann meine spezielle lösung
> gehabt.
>
> gruß hamma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 08.02.2011 | | Autor: | hamma |
hallo,danke für die schnelle antwort, in meiner fomelsammlung lautet der Ansatz für VDK variation der konstanten:
[mm] y_{s}=C(x)*e^{\integral_{}^{}{a_{0}(x) dx}}
[/mm]
ich setzte also vom ergebnis [mm] y_{H}=Cx [/mm] x ein fürs integral [mm] \integral_{}^{}{a_{0}(x) dx} [/mm] im ansatz.
wäre meine vorgehensweise so falsch?und warum?
gruß hamma
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Hallo hamma,
> hallo,danke für die schnelle antwort, in meiner
> fomelsammlung lautet der Ansatz für VDK variation der
> konstanten:
>
> [mm]y_{s}=C(x)*e^{\integral_{}^{}{a_{0}(x) dx}}[/mm]
>
> ich setzte also vom ergebnis [mm]y_{H}=Cx[/mm] x ein fürs integral
> [mm]\integral_{}^{}{a_{0}(x) dx}[/mm] im ansatz.
>
> wäre meine vorgehensweise so falsch?und warum?
Nein, die Vorgehensweise ist richtig,
Die Ausgangs-DGL lautet nach der Transformation
[mm]z'\blue{+}\bruch{z}{x}=-cos(x)[/mm]
>
> gruß hamma
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 08.02.2011 | | Autor: | hamma |
ok, dann wäre meine vorgehensweise richtig, zu meiner ersten frage habe ich die abgeleiteten werte in meine Ausgangs-DGL eingesetzt, ich weiß aber nicht wie ich weiterrechnen soll.
gruß hamma
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Hallo hamma,
> ok, dann wäre meine vorgehensweise richtig, zu meiner
> ersten frage habe ich die abgeleiteten werte in meine
> Ausgangs-DGL eingesetzt, ich weiß aber nicht wie ich
> weiterrechnen soll.
Poste doch dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> gruß hamma
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 08.02.2011 | | Autor: | hamma |
Hallo, ich habe die bernoullische aufgabe ausführlich hingeschrieben, vielleicht ist mir ein fehler schon vorher unterlaufen. das problem liegt bei mir mit der speziellen lösung. die aufgabe lautet:
[mm] 2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0
[/mm]
Zuerst sollte man die Gleichung in eine lineare DGL überführen:
[mm] 2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0 /:y^3
[/mm]
[mm] \bruch{2y'}{y^3}-\bruch{y}{xy^3}=-cos(x)
[/mm]
und dann sollte man eine substitution durchführen mit der regel:
[mm] z=y^{1-\alpha}, [/mm] also [mm] z=y^{1-3}=\bruch{1}{y^2}
[/mm]
[mm] z'=-\bruch{2y'}{y^3} [/mm] , [mm] y'=-\bruch{z'*y^3}{2}
[/mm]
eingesetzt in die inhomogene DGL ergibt:
[mm] z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)
[/mm]
so, jetzt kann ich die homogene Dgl berechnen:
[mm] z'-\bruch{z}{x}=0
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{dz}{z}}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x} }
[/mm]
[mm] ln(z)=ln(x)+ln(\pm [/mm] k)
[mm] z_{H}=x*C [/mm] das wäre jetzt meine homogene lösung.
jetzt komme ich zum problemfall, die spezielle lösung mit variation der konstanten:
der Ansatz lautet:
[mm] z_{s}=C(x)*e^x
[/mm]
[mm] z_{s}'=C'(x)*e^x+C(x)*e^x
[/mm]
das setze ich jetzt in die substituirte inhomogene DGl ein was ich schon berechnet habe:
[mm] z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)
[/mm]
[mm] C'(x)*e^x+C(x)*e^x-\bruch{C(x)*e^x}{x}=-cos(x)
[/mm]
jetzt weis ich nicht wie ich weiterrechnen soll, in den anderen ähnlichen aufgaben konnte ich dann immer kürzen, C'(x) integrieren und das integrierte C(x) in den ansatz einsetzten. so hätte ich dann meine spezielle lösung gehabt.
gruß hamma
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Hallo hamma,
> Hallo, ich habe die bernoullische aufgabe ausführlich
> hingeschrieben, vielleicht ist mir ein fehler schon vorher
> unterlaufen. das problem liegt bei mir mit der speziellen
> lösung. die aufgabe lautet:
>
> [mm]2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0[/mm]
>
> Zuerst sollte man die Gleichung in eine lineare DGL
> überführen:
>
> [mm]2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0 /:y^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{2y'}{y^3}-\bruch{y}{xy^3}=-cos(x)[/mm]
>
>
> und dann sollte man eine substitution durchführen mit der
> regel:
>
> [mm]z=y^{1-\alpha},[/mm] also [mm]z=y^{1-3}=\bruch{1}{y^2}[/mm]
>
> [mm]z'=-\bruch{2y'}{y^3}[/mm] , [mm]y'=-\bruch{z'*y^3}{2}[/mm]
>
> eingesetzt in die inhomogene DGL ergibt:
>
> [mm]z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)[/mm]
Die DGL nach Einsetzen der Substitution lautet doch;
[mm]z'\red{+}\bruch{z}{x}=\red{+}cos(x)[/mm]
>
> so, jetzt kann ich die homogene Dgl berechnen:
>
> [mm]z'-\bruch{z}{x}=0[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{dz}{z}}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x} }[/mm]
>
> [mm]ln(z)=ln(x)+ln(\pm[/mm] k)
>
> [mm]z_{H}=x*C[/mm] das wäre jetzt meine homogene lösung.
>
Das stimmt nicht, weil Du die falsch subsituierte DGL verwendet hast.
>
> jetzt komme ich zum problemfall, die spezielle lösung mit
> variation der konstanten:
> der Ansatz lautet:
>
> [mm]z_{s}=C(x)*e^x[/mm]
>
> [mm]z_{s}'=C'(x)*e^x+C(x)*e^x[/mm]
>
> das setze ich jetzt in die substituirte inhomogene DGl ein
> was ich schon berechnet habe:
>
> [mm]z'-\bruch{z}{x}=-cos(x)[/mm]
>
> [mm]C'(x)*e^x+C(x)*e^x-\bruch{C(x)*e^x}{x}=-cos(x)[/mm]
>
> jetzt weis ich nicht wie ich weiterrechnen soll, in den
> anderen ähnlichen aufgaben konnte ich dann immer kürzen,
> C'(x) integrieren und das integrierte C(x) in den ansatz
> einsetzten. so hätte ich dann meine spezielle lösung
> gehabt.
>
> gruß hamma
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mi 09.02.2011 | | Autor: | hamma |
danke für die hilfe, ich habe die bernoullische aufgabe nochmal ausführlich hingeschrieben, aber letzendlich komme ich wieder auf das selbe problem und weiß nicht wie ich weiterrechnen soll.
die aufgabe lautet:
[mm] 2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0
[/mm]
Zuerst sollte man die Gleichung in eine lineare DGL überführen:
[mm] 2y'-\bruch{1}{x}y+cos(x)*y^3=0 /:y^3
[/mm]
[mm] \bruch{2y'}{y^3}-\bruch{y}{xy^3}=-cos(x)
[/mm]
und dann sollte man eine substitution durchführen mit der regel:
[mm] z=y^{1-\alpha}, [/mm] also [mm] z=y^{1-3}=\bruch{1}{y^2}
[/mm]
[mm] z'=-\bruch{2y'}{y^3} [/mm] , [mm] y'=-\bruch{z'*y^3}{2}
[/mm]
eingesetzt in die inhomogene DGL ergibt:
[mm] z'+\bruch{z}{x}=+cos(x)
[/mm]
so, jetzt kann ich die homogene Dgl berechnen:
[mm] z'+\bruch{z}{x}=0
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{dz}{z}}=-\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x} }
[/mm]
[mm] ln(z)=-ln(x)+ln(\pm [/mm] k)
[mm] ln(z)=ln(\bruch{\pm k}{x})
[/mm]
[mm] z=\bruch{\pm k}{x}, [/mm] mit [mm] \pm [/mm] k=C
[mm] z=\bruch{C}{x} [/mm] ,das wäre jetzt meine homogene lösung.
jetzt komme ich zum problemfall, die spezielle lösung mit variation der konstanten:
der Ansatz lautet:
[mm] z_{s}=C(x)*e^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] z_{s}'=C'(x)*e^{\bruch{1}{x}}-C(x)*\bruch{1}{x^2}*e^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
das setze ich jetzt in die substituirte inhomogene DGl ein was ich schon berechnet habe:
[mm] z'+\bruch{z}{x}=+cos(x)
[/mm]
[mm] C'(x)*e^{\bruch{1}{x}}-C(x)*\bruch{1}{x^2}*e^{\bruch{1}{x}}+\bruch{C(x)*e^{\bruch{1}{x}}
}{x}=+cos(x)
[/mm]
jetzt weis ich nicht wie ich weiterrechnen soll, in den anderen ähnlichen aufgaben konnte ich dann immer kürzen, C'(x) integrieren und das integrierte C(x) in den ansatz einsetzten. so hätte ich dann meine spezielle lösung gehabt.
gruß hamma
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Hallo hamma,
>
> [mm]z=\bruch{C}{x}[/mm] ,das wäre jetzt meine homogene lösung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> jetzt komme ich zum problemfall, die spezielle lösung mit
> variation der konstanten:
> der Ansatz lautet:
>
> [mm]z_{s}=C(x)*e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
Der Ansatz lautet doch:
[mm]z_{s}=C\left(x\right) \red{\bruch{1}{x}\[/mm]
> [mm]z_{s}'=C'(x)*e^{\bruch{1}{x}}-C(x)*\bruch{1}{x^2}*e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> das setze ich jetzt in die substituirte inhomogene DGl ein
> was ich schon berechnet habe:
>
> [mm]z'+\bruch{z}{x}=+cos(x)[/mm]
>
> [mm]C'(x)*e^{\bruch{1}{x}}-C(x)*\bruch{1}{x^2}*e^{\bruch{1}{x}}+\bruch{C(x)*e^{\bruch{1}{x}}
}{x}=+cos(x)[/mm]
>
> jetzt weis ich nicht wie ich weiterrechnen soll, in den
> anderen ähnlichen aufgaben konnte ich dann immer kürzen,
> C'(x) integrieren und das integrierte C(x) in den ansatz
> einsetzten. so hätte ich dann meine spezielle lösung
> gehabt.
>
> gruß hamma
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Do 10.02.2011 | | Autor: | hamma |
danke für die hilfe, jetzt habe ich das richtige ergebnis raus.
gruß hamma
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