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| Aufgabe | | Bestimme eine Differentialgleichung die y(t)=A [mm] \cdot e^{2t}+B*e^t+C [/mm] A,B,C [mm] \in \mathbb [/mm] R als Lösung hat |
Leider wurde uns das Vorgehen bei so einer Aufgabe nicht erklärt.
Mein Ansatz war die erste und zweite Ableitung von y(t) zu bestimmen, und anhand der drei Gleichungen (y,y',y'') A,B,C zu bestimmen.
Ich konnte das LGS zwar eindeutig lösen, doch das hat mir nicht wirklich was gebracht.
Ist das überhaupt der richtige Ansatz, oder wie geht man prinzipiell an so eine Aufgabe ran`?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=446854]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 21.02.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
es muss eine inhomogene lineare DGl der Form y''+ay'+by=C
sin. warum kriegst du das durch Diff nicht hin? e^{2t} und e^{t) müssen beide die Dgl lösen!
Gruss leduart
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Danke für eine Antwort.
Und wie kommt man auf diesen Ansatz?
Und wie muss man mit y''+ay'+by=C weiter vorgehen?
Ich hab leider (noch) keine Ahnung von Differentialgleichungen, unser Prof hat uns ohne groß was zu erklären die Aufgaben hingeknallt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 21.02.2011 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
also...Differentialgleichungen der Form $Ay'' + By' + Cy = D$ haben immer eine Lösung der Form [mm] $e^{irgendwas}$, [/mm] das solltet ihr eigentlich vorher gelernt haben aber naja...
und dann gilt noch, dass eine Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung ist, d.h. umgekehrt, dass wenn z.B [mm] $e^{2x} [/mm] + [mm] 3*e^{5x}$ [/mm] eine Lösung ist, dann sind die einzelnen Terme einzeln auch Lösungen, d.h. du suchst jetzt eine Differentialgleichung, welche die beiden als Lösungen hat, dann auch die Summe der beiden. (Das war jetzt nur ein Beispiel...)
Wenns nich vorwärts geht nochmal bescheid sagen.
Gruß! Jan.
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Aber in der vorgegebenen Funktion kommt doch auch noch ein C vor, also nicht nur Ausdrücke der Form e^irgendwas .
Und deine Aussage "und dann gilt noch, dass eine Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung ist, d.h. umgekehrt, dass wenn z.B $ [mm] e^{2x} [/mm] + [mm] 3\cdot{}e^{5x} [/mm] $ eine Lösung ist, dann sind die einzelnen Terme einzeln auch Lösungen" gilt doch in diesem Fall dann nicht?
Ich kann ja daraus dass A $ [mm] \cdot e^{2t}+B\cdot{}e^t+C [/mm] $ eine Lösung ist, nicht ableiten dass C eines Lösung ist (oder etwa doch?)
Sorry für meine Planlosigkeit, das ganze ist eigentlich ne Vorlesung über dynamische Systeme - mit Differentialgleichungen hatten wir vorher noch nie was zu tun, und da startet der Prof gleich mit so was durch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 21.02.2011 | | Autor: | MorgiJL |
> Ich kann ja daraus dass A [mm]\cdot e^{2t}+B\cdot{}e^t+C[/mm] eine
> Lösung ist, nicht ableiten dass C eines Lösung ist (oder
> etwa doch?)
doch...Stichwort: "Superpositionsprinzip bei Differentialgleichungen"
Die konstante Funktion $y=c$, und die Funktionen $y = [mm] A*e^{2t}$ [/mm] und $y = [mm] B*e^{t}$ [/mm] müssen Lösungen der zu suchenenden Diff.-gleichung sein.
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Das heißt ich muss ein Gleichungssystem aufstellen, aber wie geh ich da ran?
So wie ich es in meinem ersten Beitrag versucht hatte ja offensichtlich nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 21.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich schon differenzier [mm] y=e^{2t} [/mm] 2 mal, setz in die Dgl (ohne C) ein, was kannst du über a, b sagen. dasselbe mit [mm] y=e^{t}
[/mm]
Gruss leduart
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