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Hallo zusammen,
bereite mich zur Zeit mit folgender Aufgabe auf meine Klausur vor. Ich habe auch einen Lösungsvorschlag dazu, jedoch ist dieser ein wenig verwirrend und nicht ganz nachvollziehbar für mich.
Bestimmen Sie alle Lösungen des Differentialgleichungssystems
y'_{1} = [mm] y_{2} [/mm] - x
y'_{2} = [mm] -4y_{1} [/mm] + x
[mm] \Rightarrow
[/mm]
y' = [mm] \pmat{ 0 & 21 \\ -4 & 0 } \vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{-x \\ +x}
[/mm]
Welche Rolle spielt der x-Vektor? Ich kenne Differentialgleichungssysteme nur ohne Zusatzvektor!
homogen: charakt. Polynom
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -2i
EV zu [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \vektor{i \\ 2}
[/mm]
EV zu [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \vektor{i \\ -2}
[/mm]
y = [mm] \vektor{i \\ 2} [/mm] cos (-2x) + i sin (-2x)
Wie komme ich auf y???
y = [mm] \pmat{ sin 2x & i cos 2x \\ 2 cos 2x & -2i sin 2x }
[/mm]
Welche Matrix ist dies?
LFS:
x [mm] \mapsto \vektor{sin 2x \\ 2 cos 2x}
[/mm]
x [mm] \mapsto \vektor{cos 2x \\ -2 sin 2x}
[/mm]
Wenn es sich hierbei um die Spaltenvektoren der Matrix handelt, wo sind dann bitte die beiden i im zweiten Vektor?
Ansatz für patikuläre Lösung:
y(x) = [mm] \pmat{ ax & +b \\ cx & +d }
[/mm]
Woher kommt diese Matrix?
y'(x) = [mm] \vektor{a \\ c} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -4 & 0 } \pmat{ ax & +b \\ cx & +d } [/mm] + [mm] \vektor{-x \\ +x}
[/mm]
Was ist [mm] \vektor{a \\ c} [/mm] für ein Vektor?
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ cx + d - x \\ -4ax - 4b + x } [/mm] = [mm] \vektor{a \\ c}
[/mm]
c = 1
a = d
Woher erhalte ich diese beiden Werte?
[mm] y_{p}(x) [/mm] = [mm] \pmat{ x/4 - 1/4 \\ x + 1/4 }
[/mm]
Wie kann ich von c und a auf die partikuläre Lösung kommen?
Gruß
Prof.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Professor |
Hallo Astrid,
nun diese Aufgabe war eine Übungsaufgabe die uns im Rahmen der Mathematikvorlesung gestellt wurde. Der Lösungsvorschlag ist eine Mitschrift der Verbesserung aus der Übungsstunde.
Falls Fehler darin enthalten sind, muss das entweder an meiner sehr gewissenhaft arbeitenden Studienkollegin liegen oder an unserem Mathedozenten.
Dass der Lösungsvorschlag etwas knapp ist, liegt definitiv an unserem Mathematikprofessor. Er läßt gerne den ein oder anderen trivialen Schritt weg. Leider handelt es sich dabei um Schritte welcher nur in seinen Augen trivial sind. :-(
Ich habe nur die Berechnung der Eigenwerte und die Ermittlung der zugehörigen Eigenvektoren weggelassen.
Ergebnisse habe ich ALLE angegeben. Laut Lösung habe ich die Eigenvektoren nicht vertauscht. Klammern wurden von mir ebenfalls nicht vergessen. Dies lässt mich an der Lösung leider etwas zweifeln.
Gruß
Prof.
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Hallo,
gilt eigentlich
[mm] e^{ix}=\cos [/mm] x + i [mm] \sin [/mm] x
für alle x (z.B. x = [mm] \pi)?
[/mm]
Wie ist denn die Herleitung dieser Gleichung?
LG
Prof.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> gilt eigentlich
>
> [mm]e^{ix}=\cos[/mm] x + i [mm]\sin[/mm] x
>
> für alle x (z.B. x = [mm]\pi)?[/mm]
Ja, die Beziehung gilt fuer alle $x [mm] \in \IC$.
[/mm]
> Wie ist denn die Herleitung dieser Gleichung?
Heutzutage (in der Analysis) definiert man [mm] $\sin [/mm] x$ und [mm] $\cos [/mm] x$ als Reihe, so dass zusammen mit der [mm] $\exp [/mm] x$-Reihe sofort die Beziehung [mm] $\exp(i [/mm] x) = [mm] \cos [/mm] x + i [mm] \sin [/mm] x$ herauskommt.
Alternativ kann man eine Taylorentwicklung von [mm] $\sin$, $\cos$ [/mm] und [mm] $\exp$ [/mm] um $x = 0$ machen und damit die Formel nachrechnen, indem man zeigt, dass die Reihenentwicklungen auf beiden Seiten uebereinstimmen. Das benoetigt natuerlich ein wenig Wissen ueber Potenzreihen (auch im Komplexen) und Taylorreihen, insb. deren Konvergenz.
Weitere infos gibts z.B. bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia. Interessant waer natuerlich noch, wie die Identitaet urspruenglich bewiesen wurde; dazu hab ich auf die Schnelle leider nichts gefunden...
LG Felix
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Hallo Professor,
> Ansatz für patikuläre Lösung:
>
> y(x) = [mm]\pmat{ ax & +b \\ cx & +d }[/mm]
>
> Woher kommt diese Matrix?
Diese MAtrix ist ein spezieller Ansatz für die part. Lsg. Dieser ist möglich da die Inhomogenität selbst linear ist.(+DGL mit konst. Koeffizienten)
> y'(x) = [mm]\vektor{a \\ c}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -4 & 0 } \pmat{ ax & +b \\ cx & +d }[/mm]
> + [mm]\vektor{-x \\ +x}[/mm]
>
> Was ist [mm]\vektor{a \\ c}[/mm] für ein Vektor?
Die Ableitung des speziellen Ansatzes.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ cx + d - x \\ -4ax - 4b + x }[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}[/mm]
>
> c = 1
> a = d
>
> Woher erhalte ich diese beiden Werte?
Das GS muß für alle x gelten insbesondere für x=0. Da kannst Du schonmal 2 Konstanten rauslösen und dann noch für [mm] x\not= [/mm] 0 lösen. Du kannst auch Koeffizientenvergleich dazu sagen.
> [mm]y_{p}(x)[/mm] = [mm]\pmat{ x/4 - 1/4 \\ x + 1/4 }[/mm]
>
> Wie kann ich von c und a auf die partikuläre Lösung
> kommen?
Wenn Du alle Konstanten bestimmt hast wird das wohl rauskommen.
viele grüße
mathemaduenn
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
!
, sondern ich wollte dich bloß auf mögliche formale Fehler hinweisen und versuchen, dir die Lösung zu erklären. Aber 