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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm] x^{3}-3x^{2}-x+4 [/mm] und g(x)= -4x+5
a) Bestimmen Sie f'(x) mithilfe des Differentialquotienten. |
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz:
[mm] f'(x_{0})= \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{(x^{3}-3x^{2}-x+4)-((x-h)^{3}-3(x-h)^{2}-(x-h)+4)}{h}
[/mm]
<=> [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{h^{3}-6hx-3h^{2}-h}{h}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Ich komme ab dieser Stelle nicht mehr weiter... Wie kürzt man jetzt? Und wie lasse ich das Ganze gegen 0 gehen? Das ist schon ziemlich lange her, als wir das im Unterricht hatten...
(Übrigens: Normalerweise wird die Formel ja mit x0 geschrieben; was bedeutet das x0? Was hätte ich dafür einsetzen müssen, wenn ich nicht die h-Methode benutzt hätte und wann benutzt man eigentlich diese Methode?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Do 02.10.2014 | | Autor: | GeMir |
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}{\bigg(\frac{h^3-6hx-3h^2-h}{h}\bigg)} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0}{\bigg(\frac{h(h^2-6x-3h-1)}{h}\bigg)} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0}{(\underbrace{h^2}_{\rightarrow 0}-6x-\underbrace{3h}_{\rightarrow 0}-1)} [/mm] = -6x-1
Wie du siehst, hast du dich verrechnet, weil die richtige Antwort lautet $f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - 6x - 1$
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ich habe das ganze nochmal gerechnet, finde den Fehler aber nicht.
= lim [mm] \bruch{(x^3 -3x^2 -x+4)-((x-h)^3 - 3((x-h)^2 ) - (x-h) +4)}{h}
[/mm]
= lim [mm] \bruch{(x^3 -3x^2 -x + 4)-(x^3 -h^3 -3(x^2 -2hx-h^2 )-x+h+4)}{h}
[/mm]
= lim [mm] \bruch{x^3 -3x^2 -x +4-(x^3 -h^3 -3x^2 +6hx +3h^2 -x + h +4)}{h}
[/mm]
= lim [mm] \bruch{x^3 -3x^2 - x +4-x^3 +h^3 +3x^2 -6hx -3h^2 +x -h-4}{h}
[/mm]
wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 02.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo micha,
schon beim ersten Ausmultiplizieren liegt der Fehler.
Es ist
$ [mm] \bruch{(x^3 -3x^2 -x+4)-((x-h)^3 - 3((x-h)^2 ) - (x-h) +4)}{h} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{(x^3 -3x^2 -x + 4)-(x^3 -3x^2h+3xh^2-h^3 -3(x^2 -2hx+h^2 )-x+h+4)}{h} [/mm] $
Such einfach mal nach "Ausmultiplizieren mit Pascalschem Dreieck" bei einer Suchmaschine deines Vertrauens 
MfG
Ladon
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Wenn ich [mm] (x-h)^3 [/mm] ausmultipliziere, komme ich auf folgendes:
[mm] (x-h)*(x-h)^2
[/mm]
= [mm] (x-h)*(x^2 -2xh-h^2 [/mm] )
= [mm] x^3 -2x^2 [/mm] h - [mm] xh^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] h [mm] +2xh^2 [/mm] + [mm] h^3
[/mm]
= [mm] x^3 -3x^2 [/mm] h [mm] +xh^2 +h^3
[/mm]
was ist falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Do 02.10.2014 | | Autor: | micha20000 |
Oh, ich habe den Fehler entdeckt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 02.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn ich [mm](x-h)^3[/mm] ausmultipliziere, komme ich auf
> folgendes:
>
> [mm](x-h)*(x-h)^2[/mm]
>
> = [mm](x-h)*(x^2 -2xh-h^2[/mm] )
>
> = [mm]x^3 -2x^2[/mm] h - [mm]xh^2[/mm] - [mm]x^2[/mm] h [mm]+2xh^2[/mm] + [mm]h^3[/mm]
>
> = [mm]x^3 -3x^2[/mm] h [mm]+xh^2 +h^3[/mm]
>
> was ist falsch?
Du hast den Fehler ja gefunden, aber damit man es später wiederfindet:
[mm] $(x-h)^2=x^2-2xh\red{\;\text{+}\;}h^2$
[/mm]
(Danach habe ich nach keinem weiteren Ausschau gehalten.)
Gruß,
Marcel
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Ich habe jetzt folgendes für den gesamten Bruch raus:
lim [mm] 3x^2 -3x3h^3 +h^2 [/mm] -6xh
ist das richtig? und wenn ja, was muss ich jetzt machen, wenn ich h gegen unendlich gehen lassen will?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 02.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe jetzt folgendes für den gesamten Bruch raus:
>
> lim [mm]3x^2 -3x3h^3 +h^2[/mm] -6xh
was immer Du da auch gerechnet hast. Ich frage mich sowieso, wieso
Du
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$
[/mm]
betrachtest. Das kann man (hier) machen, wenn man sich selbst mit Vorzeichenfragen
durcheinander bringen will, obwohl sie keine Bedeutung haben.
Rechne mir jetzt dann doch auf ein Neues daher mal
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
vor. (Aus Faulheitsgründen schreiben wir [mm] $x\,$ [/mm] anstatt [mm] $x_0$!)
[/mm]
Außerdem, siehe meine andere Antwort: Überlege Dir mal, ob man da
wirklich in aller Ausführlichkeit den Term [mm] $f(x+h)-f(x)\,$ [/mm] hinschreiben muss...
> ist das richtig? und wenn ja, was muss ich jetzt machen,
> wenn ich h gegen unendlich gehen lassen will?
Warum willst Du denn $h [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen? Also auch schon "gedanklich":
Du willst aus einer Sekantensteigung eine Tangentensteigung machen, und
das geht doch nicht, indem Du den einen Punkt (x+h) unendlich weit von
dem festen [mm] $x\,$ [/mm] *wegschiebst*.
P.S. Dein Ergebnis oben kann durchaus richtig sein, aber ich habe halt
keine Lust, das mit Deiner Methode nachzurechnen. Ich rechne es gleich
nochmal mit der von mir genannten mit dem [mm] $h\,$ [/mm] nach und schaue dann,
was am Ende stehen bleibt, wenn ich dann bei mir $x [mm] \leftrightarrow x+h$ und
$x-h \leftrightarrow (x-h)+h=x$ vertausche.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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Wir sollten das so von unserem Lehrer berechnen...
Stimmt, das war ein Fehler von mir: Ich muss h gegen 0 laufen lassen... Wie funktioniert das? Ich habe keine Ahnung, was ich da machen muss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Do 02.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo micha,
noch mal zu deinen anderen Fragen:
Man definiert die Ableitung wie folgt:
Eine Funktion f ist in [mm] x_0 [/mm] genau dann differenzierbar, wenn
[mm] $$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ [/mm] existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f an der Stelle [mm] x_0.
[/mm]
Die beiden obigen Grenzwerte sind offensichtlich gleich. Statt [mm] $x\to x_0$ [/mm] gehen zu lassen, kann man auch [mm] $x-x_0=:h\to0$ [/mm] gehen lassen. Man kann sich das graphisch leicht klar machen. Sieh dir einfach einige "Sekanten" an und lasse deren zweiten Schnittpunkt (an der Stelle x bzw. [mm] x_0+h [/mm] (im Fall der h-gegen-Null-Methode)) gegen den ersten Schnittpunkt (an der Stelle [mm] x_0) [/mm] laufen und betrachte dabei die jeweilige Steigung der "Sekanten".
[mm] x_0 [/mm] soll andeuten, dass es sich um einen bestimmten Punkt handelt.
MfG
Ladon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Do 02.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm]x^{3}-3x^{2}-x+4[/mm] und
> g(x)= -4x+5
> a) Bestimmen Sie f'(x) mithilfe des
> Differentialquotienten.
>
> Hallo,
>
> ich habe folgenden Ansatz:
> [mm]f'(x_{0})= \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{(x^{3}-3x^{2}-x+4)-((x-h)^{3}-3(x-h)^{2}-(x-h)+4)}{h}[/mm]
anstatt [mm] $x\,$ [/mm] gehört da auch [mm] $x_0$ [/mm] hin!
Und auch mal ein Hinweis: Die beiden Funktionen in der Variablen [mm] $h\,$, [/mm] definiert
durch
[mm] $z_{x_0}(h):=(x_0^{3}-3x_0^{2}-x_0+4)-((x_0-h)^{3}-3(x_0-h)^{2}-(x_0-h)+4)$
[/mm]
und
[mm] $n_{x_0}(h):=h$
[/mm]
sind offensichtlich Polynome mit der gemeinsamen Nullstelle [mm] $h=0\,.$
[/mm]
Deswegen wird
[mm] $b_{x_0}(h):=z_{x_0}(h)/n_{x_0}(h)$ [/mm] für $h [mm] \not=0$
[/mm]
i.W. ein(e) Polynom(funktion) in der Variablen [mm] $h\,$ [/mm] sein. (Das "i.W." schreibe
ich nur deswegen, weil diese "Bruchfunktion" an der Stelle [mm] $h=0\,$ [/mm] gar nicht
definiert ist!)
Du wirst später sehen: Es ist kein Zufall, dass man Polynome "leicht"
ableiten kann.
Nebenbei: Wenn man sich die allgemeine binomische Formel
[mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^k b^{n-k}$
[/mm]
klarmacht, kann man die Aufgabe sehr schnell und viel allgemeiner lösen.
Aber es geht auch "schneller":
Für $h [mm] \not=0$ [/mm] ist hier
[mm] $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}\,.$
[/mm]
Überlege Dir die Struktur von
[mm] $(x_0+h)^3-x_0^3\,,$
[/mm]
indem Du die Summanden so sortierst, dass die Exponenten von [mm] $h\,$ [/mm] in
aufsteigender Reihenfolge auftauchen. Der genaue Vorfaktor ist nämlich
nur an wenigen Stellen relevant:
[mm] $(x_0+h)^3-x_0^3=\red{x_0^3}\,+3x_0^2*h+...*h^2+h^3+\red{\,-\,x_0^3}$
[/mm]
Also: man kann auch *mit Bedacht* rechnen.
Das Verfahren geht übrigens auch bei höheren Exponenten:
[mm] $(x_0+h)^7-x_0=\red{x_0^7}\,+7x_0^6*h+...*h^2+...*h^3+...+...*h^6+h^7\red{\,-\,x_0^7}$
[/mm]
Was bringt Dir das? Naja, egal, welche Zahl $p [mm] \in \IR$ [/mm] man hat, ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$n [mm] \ge 2\,,$ [/mm] so ist doch
[mm] $p*h^n/h=p*h^{n-1}$
[/mm]
und es folgt dann
[mm] $p*h^n/h=p*h^{n-1} \to [/mm] 0$ bei $h [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Beachte oben auch: Die Anzahl der Summanden ist unabhängig von [mm] $h\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Funktionsgrenzwertbestimmung![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29#Grenzwerts.C3.A4tze