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| Aufgabe | Es sei [mm] D\subset \mathbb{R} [/mm] ein offenes Intervall und [mm] f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in [/mm] D.
a) Ist f in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar, so gilt
[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.
[/mm]
b) Falls
[mm] a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h} [/mm]
existiert, so ist f in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und es ist [mm] f'(x_{0})=a. [/mm] |
Guten Abend,
ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe bei der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider nicht genau, wie man das zeigen kann.
Viele Grüße
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
> D.
>
> a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt
>
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]
>
> b) Falls
>
> [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>
> existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist
> [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]
> Guten Abend,
> ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe bei
> der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider nicht
> genau, wie man das zeigen kann.
>
> Viele Grüße
> Alex
Hallo Alex,
wie habt ihr denn "differenzierbar an der Stelle [mm]x_0[/mm]" definiert?
Ich denke die Aufgabe läuft darauf hinaus, dass du beim Differentialquotienten statt dem Intervall [mm][x_0;x_0+h][/mm] (mit Länge h) das Intervall [mm][x_0-h;x_0+h][/mm] (mit Länge 2h) verwenden sollst.
Da musst du dir die Definition hernehmen und ein bisschen rumbasteln... Schreib dir z.B. mal die Definition von [mm]f^\prime (x_0)=\lim_{h\to 0} f^\prime\left(x_0-\frac h2\right)[/mm] auf und ersetze später [mm]\frac h2[/mm] durch [mm]h[/mm] (wenn h gegen Null geht, ändert das ja nichts).
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:27 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
>
> > D.
> >
> > a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt
> >
> > [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]
>
> >
> > b) Falls
> >
> > [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>
> >
> > existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist
> > [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]
> > Guten Abend,
> > ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe
> bei
> > der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider
> nicht
> > genau, wie man das zeigen kann.
> >
> > Viele Grüße
> > Alex
>
>
> Hallo Alex,
>
> wie habt ihr denn "differenzierbar an der Stelle [mm]x_0[/mm]"
> definiert?
>
> Ich denke die Aufgabe läuft darauf hinaus, dass du beim
> Differentialquotienten statt dem Intervall [mm][x_0;x_0+h][/mm] (mit
> Länge h) das Intervall [mm][x_0-h;x_0+h][/mm] (mit Länge 2h)
> verwenden sollst.
>
> Da musst du dir die Definition hernehmen und ein bisschen
> rumbasteln... Schreib dir z.B. mal die Definition von
> [mm]f^\prime (x_0)=\lim_{h\to 0} f^\prime\left(x_0-\frac h2\right)[/mm]
> auf und ersetze später [mm]\frac h2[/mm] durch [mm]h[/mm] (wenn h gegen Null
> geht, ändert das ja nichts).
Hallo Fulla,
f ist nur in [mm] x_0 [/mm] als differenzierbar vorausgesetzt, also wird [mm] f^\prime\left(x_0-\frac h2\right) [/mm] i.a. nicht existieren !
FRED
>
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:32 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Alex!
> Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
> D.
>
> a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt
>
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]
Wegen [mm] $f\$ [/mm] in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist
[mm] f'(x_0):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
[/mm]
Zu zeigen:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\quad(=f'(x_0)).
[/mm]
Tipp: Den Zähler mit einer *additive Null* [mm] (0=f(x_0)-f(x_0)) [/mm] "addieren".
> b) Falls
>
> [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>
> existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist
> [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]
Das ist eine Folgerung aus der ersten Teilaufgabe. (Warum?)
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:12 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Fulla |
Hallo DieAcht,
das ist natürlich eleganter als mein Vorschlag...
Bei mir hat sich irgendwie eine "Verschiebung in x-Richtung" festgebrannt (mit der es auch funktioniert)...
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo DieAcht,
leider hat mir dein Tipp mit der additiven Null noch nicht weitergeholfen. Ich weiß nicht, wie ich den Bruch damit so umformen kann, sodass ich den eigentlichen Differentialquotienten erhalte. Kann man [mm] f(x_{0}-h) [/mm] irgendwie umschreiben?
Viele Grüße
Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo DieAcht,
> leider hat mir dein Tipp mit der additiven Null noch nicht
> weitergeholfen. Ich weiß nicht, wie ich den Bruch damit so
> umformen kann, sodass ich den eigentlichen
> Differentialquotienten erhalte. Kann man [mm]f(x_{0}-h)[/mm]
> irgendwie umschreiben?
Zeige uns doch deine Rechnung. Im Allgemeinen ist
[mm] \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.
[/mm]
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Es ist
[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{2h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{2h} [/mm] - [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{2h}.
[/mm]
An dieser Stelle weiß ich im Moment nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Es ist
>
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{2h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{2h}[/mm] -
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{2h}.[/mm]
>
> An dieser Stelle weiß ich im Moment nicht weiter.
Den ersten Grenzwert solltest du erkennen. Für den zweite Grenz-
wert behaupte ich, dass du [mm] $h\$ [/mm] mit [mm] $-h\$ [/mm] ersetzen darfst (Begründe!).
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Ich nehme mal an, da h gegen 0 strebt und f auf einem offenen Intervall definiert ist. Daher gibt es zu jedem [mm] x_{0} [/mm] im Definitionsbereich von f eine "h-Umgebung", die wieder ganz im Definitionsbereich liegt. Somit ist es egal, ob man das h addiert oder subtrahiert, die Funktion ist auf jeden Fall an dieser Stelle definiert. Wäre das so richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 12.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:33 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
> D.
>
> a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt
>
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]
>
> b) Falls
>
> [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>
> existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist
> [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]
Zu a) hat Acht schon das entscheidende gesagt.
Zu b) kann ich nur sagen, dass die zu beweisende Aussage nicht zu beweisen ist:
[mm] D=\IR, [/mm] f(x)=|x|, [mm] x_0=0.
[/mm]
FRED
> Guten Abend,
> ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe bei
> der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider nicht
> genau, wie man das zeigen kann.
>
> Viele Grüße
> Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Mo 12.01.2015 | | Autor: | qwertz235 |
Vielen Dank euch dreien! Ich werde mich gleich nochmal an die Aufgabe mithilfe eurer Ansätze setzen.
Viele Grüße
Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Mo 12.01.2015 | | Autor: | qwertz235 |
...und wie es scheint, komme ich noch nicht so ganz mit der Frage-Antwort-Struktur dieses Forums zurecht.
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