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| Aufgabe | | Ist die Funktion [mm] f:\IR \mapsto \IR f(x)=\summe_{i=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3} [/mm] differenzierbar? |
Hey,
Ja ich bin der Meinung die Funktion ist differenzierbar. Wir hatten den Satz
a)Seien [mm] f_{n} [/mm] stetig differenzierbare Funktion die punktweise gegen die die Funktion f konvergieren.b) Die Folge der Ableitungen [mm] f_{n}' [/mm] konvergiere gleichmäßig. Dann ist f differenzierbar und es gilt [mm] f'(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}
[/mm]
b) habe ich mit Weierstraß-Kriterium gezeigt und das impliziert Teil b) des obigen Satzes. Nun meine Frage wie zeige ich Teil a) ?
Lg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 06.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktion [mm]f:\IR \mapsto \IR f(x)=\summe_{i=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3}[/mm]
Du meinst wohl
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3}
[/mm]
> differenzierbar?
> Hey,
>
> Ja ich bin der Meinung die Funktion ist differenzierbar.
> Wir hatten den Satz
> a)Seien [mm]f_{n}[/mm] stetig differenzierbare Funktion die
> punktweise gegen die die Funktion f konvergieren.b) Die
> Folge der Ableitungen [mm]f_{n}'[/mm] konvergiere gleichmäßig.
> Dann ist f differenzierbar und es gilt
> [mm]f'(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}[/mm]
>
> b) habe ich mit Weierstraß-Kriterium gezeigt und das
> impliziert Teil b) des obigen Satzes. Nun meine Frage wie
> zeige ich Teil a) ?
Mein lieber Zahlenfreund,
Deine Frage erstaunt mich sehr ! Wenn Du b) richtig gezeigt hast, so hast Du doch bewiesen, dass die Funktionenreihe
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}cos( nx)/n^{2}$
[/mm]
auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig konvergiert. Und das mit
[mm] $|\bruch{cos(nx)}{n^2}| \le \bruch{1}{n^2} [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Mit fast den gleichen Argumenten kann man zeigen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3}$
[/mm]
konvergiert auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig und damit natürlich erst recht punktweise !
FRED
>
> Lg zahlenfreund
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Hallo Fred97,
Ich hab ganz vergessen das gleichmäßige Konvergenz punktweise Konvergenz impliziert,damit hast du natürlich Recht das a) und b) sehr ähnlich sind. Danke für deine Hilfe :)
mfg zahlenfreund
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