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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Die Funktion f sei in einer Umgebung von $a [mm] \in \IR$ [/mm] erklärt und in $a$ differenzierbar. Dann gilt:
[mm] a) $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-af(x)}{x-a}= [/mm] f(a) - a f'(a), [mm] \; [/mm] (a [mm] \in \IR)$
[/mm]
[mm] b) $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(a +\alpha h)-f(a -\beta h)}{h}= (\alpha+\beta) [/mm] f'(a), [mm] \; (\alpha, \beta \in \IR)$
[/mm]
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Hallo lieber Matheraum,
die Aufgabe a) konnte ich lösen. Ich habe auf dem Bruch [mm] $\pm [/mm] a f(a) $ ergänzt, den Bruch auseinandergezogen, gekürzt und den Differenzenquotienten verwendet, da nach Voraussetzung die Funktion in $a$ differenzierbar ist.
Für Aufgabenteil b) benötige ich aber eure Hilfe. Vermutlich muss man den Ausdruck wieder mit [mm] $\pm [/mm] f(a)$ ergänzen. Ich weiß nicht, wie ich [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] da herausbekomme, also auf ein $f(a)$ bzw $f(a+h)$ komme.
Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f sei in einer Umgebung von [mm]a \in \IR[/mm] erklärt
> und in [mm]a[/mm] differenzierbar. Dann gilt:
>
> a) [mm]\lim_{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-af(x)}{x-a}= f(a) - a f'(a), \; (a \in \IR)[/mm]
>
>
> b) [mm]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(a +\alpha h)-f(a -\beta h)}{h}= (\alpha+\beta) f'(a), \; (\alpha, \beta \in \IR)[/mm]
>
> Hallo lieber Matheraum,
>
> die Aufgabe a) konnte ich lösen. Ich habe auf dem Bruch [mm]\pm a f(a)[/mm]
> ergänzt, den Bruch auseinandergezogen, gekürzt und den
> Differenzenquotienten verwendet, da nach Voraussetzung die
> Funktion in [mm]a[/mm] differenzierbar ist.
>
> Für Aufgabenteil b) benötige ich aber eure Hilfe.
> Vermutlich muss man den Ausdruck wieder mit [mm]\pm f(a)[/mm]
> ergänzen.
Ja. Dann bekommst Du:
L(h) : = [mm] \frac{ f(a +\alpha h)-f(a -\beta h)}{h}= \bruch{f(a +\alpha h) - f(a)}{h} [/mm] - [mm] \bruch{f(a -\beta h)-f(a)}{h}
[/mm]
Sei [mm] \alpha \not= [/mm] 0 [mm] \not= \beta: [/mm] Dann:
L(h) [mm] =\alpha \bruch{f(a +\alpha h) - f(a)}{\alpha h} [/mm] + [mm] \beta \bruch{f(a -\beta h)-f(a)}{- \beta h}
[/mm]
jetzt h --> 0
Den Fall [mm] \alpha [/mm] = 0 oder [mm] \beta [/mm] = 0 bekommst Du jetzt sicher selbst hin.
FRED
>Ich weiß nicht, wie ich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] da
> herausbekomme, also auf ein [mm]f(a)[/mm] bzw [mm]f(a+h)[/mm] komme.
>
> Gruß,
> Palonina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Palonina |
>
> Sei [mm]\alpha \not=[/mm] 0 [mm]\not= \beta:[/mm] Dann:
>
> L(h) [mm]=\alpha \bruch{f(a +\alpha h) - f(a)}{\alpha h}[/mm] +
> [mm]\beta \bruch{f(a -\beta h)-f(a)}{- \beta h}[/mm]
>
> jetzt h --> 0
Hallo Fred,
vielen Dank. Die Brüche mit [mm] $\alpha$ [/mm] bzw. [mm] $-\beta$ [/mm] zu erweitern, auf die Idee bin ich nicht gekommen. Ich wusste nicht, dass man bei der h-Methode auch [mm] $\alpha$h [/mm] nehmen kann. Funktioniert der Limes h --> 0 auch so? Ich war mir nicht sicher, dass der Grenzwert für beliebe (auch sehr große) [mm] $\alpha$ [/mm] geht.
Palonina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Palonina!
Da [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] zwar frei wählbar, jedoch dann fest und damit beschränkt sind, gilt auch:
[mm] $$\limes_{h\rightarrow 0}\left(\alpha*h\right) [/mm] \ = \ [mm] \alpha*\limes_{h\rightarrow 0}h [/mm] \ = \ [mm] \alpha*0 [/mm] \ = \ 0$$
(Für [mm] $\beta$ [/mm] analog.)
Gruß
Loddar
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