Differentiation Umkehrabbild < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mi 13.01.2010 | | Autor: | bAbUm |
| Aufgabe | f(x)=sinx ; f´(x)=cosx ; f^(-1)=arcsiny ; y€(-1,1)
(arctan [mm] y)´=\bruch{1}{cosx} [/mm] | x=arctan y = [mm] [blue]\bruch{1}{\wurzel{1-sin^2x}} [/mm] |x=arcsiny = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-y^2}}[/blue] [/mm] |
Guten Tag.
Ich habe hier 2 Differentiationsbeispiele der Umkehrabbildung vor mir liegen.
Nur verstehe ich diese noch nicht so ganz.
1. Beispiel (f(x)=tanx)
-davon die ableitung bilden
-diese in die Formel einsetzen also: [mm] \bruch{1}{1+tan²x}
[/mm]
-dann x=arcan(y) einsetzen
ABER jetzt! wieso ist tan²*(arctan(y))= y² ??
hebt sich tan² und arctan auf?
Und jetzt das schwerere Beipiel. zumindest das, was mich mehr verwirrt
(siehe oben)
so, meine fragen:
-wo kommt plötzlich das arctan her?
(oder habe ich da was falsches abgeschrieben)
-wo kommt dann auf einmal [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-sin²x}}
[/mm]
und ebenfalls
x=arcsin her??
So wenn ich das verstanden habe kann ich mich auch an meine Aufgaben trauen, die ich bearbeiten muss.
Bin Dankbar für jede hilfe. DANKE im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mi 13.01.2010 | | Autor: | bAbUm |
| Aufgabe | f(x)=sinx ; f´(x)=cosx ; f^(-1)=arcsiny ; y€(-1,1)
(arctan [mm] y)´=\bruch{1}{cosx} [/mm] | x=arctan y = [mm] [blue]\bruch{1}{\wurzel{1-sin^2x}} [/mm] |x=arcsiny = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-y^2}}[/blue] [/mm] |
so muss es sein. ^2 würden hinzugefügt. im vorherigen beitrag will das einfach nicht angezeigt werden
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Hallo bAbUm,
mache Exponenten mit dem Dach ^ (links neben der 1), die Exponenten setze (wenn sie länger als 1 Zeichen sind) in geschweifte Klammern {}
Also \sin^2(y) etwa ergibt [mm] $\sin^2(y)$
[/mm]
Deine Benutzung des Formeleditors macht das Zitieren unmöglich, ich musste ne Menge editieren ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Habe alle Farben und sonstigen Humbuk herausnehmen müssen!
> [mm] $f(x)=\sin(x) [/mm] ; [mm] f'(x)=\cos(x) [/mm] ; [mm] f^{-1}=arcsin(y) [/mm] ; [mm] y\in(-1,1)$
[/mm]
>
> [mm] $(arctan(y))'=\bruch{1}{\cos(x)} [/mm] \ [mm] \mod x=arctan(y)=\bruch{1}{\wurzel{1-sin^2(x)}} [/mm] \ [mm] \mid x=arcsin(y)=\bruch{1}{\wurzel{1-y^2}}$
[/mm]
> Guten Tag.
> Umkehrabbildung vor mir liegen.
> Nur verstehe ich diese noch nicht so ganz.
>
> 1. Beispiel [mm] (f(x)=\tan(x))
[/mm]
> -davon die ableitung bilden
> -diese in die Formel einsetzen also: [mm] $\bruch{1}{1+\tan^2(x)}$
[/mm]
> -dann $x=arcan(y)$ einsetzen
> ABER jetzt! wieso ist [mm] $\tan^2*(arctan(y))= y^2$ [/mm] ??
Nicht [mm] $\tan^2\red{\cdot{}}(\arctan(y))$, [/mm] das würde auch keinen Sinn ergeben, sondern [mm] $\tan^2(\arctan(y))$
[/mm]
> hebt sich [mm] $\tan^2$ [/mm] und $arctan$ auf?
Tangens und Arcustangens sind Ukehrfunktionen zueinander,also [mm] $\tan(\arctan(z))=z$ [/mm] und [mm] $\arctan(\tan(z))=z$
[/mm]
Hier [mm] $\tan^2(\arctan(y))=\left[\tan(\arctan(y))\right]^2=y^2$
[/mm]
> Und jetzt das schwerere Beipiel. zumindest das, was mich mehr verwirrt
> (siehe oben)
> so, meine fragen:
> -wo kommt plötzlich das $arctan$her?
> $(oder habe ich da was falsches abgeschrieben)$
> -wo kommt dann auf einmal [mm] $\bruch{1}{\wurzel{1-\sin^2(x)}}$
[/mm]
> und ebenfalls
> $x=arcsin$ her??
Nun, gem. der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion und der Tatsache, dass [mm] $\sin(z)$ [/mm] und [mm] $\arcsin(z)$ [/mm] Umkehrfunktionen zueinander sind, gilt:
[mm] $\left[\sin^{-1}(y)\right]'=\arcsin'(y)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(y))}$
[/mm]
Und [mm] $\sin'(z)=\cos(z)$, [/mm] also
[mm] $=\frac{1}{\cos(\arcsin(y))}$
[/mm]
Nun wird der trigonomentr. Pythagoras benutzt, ein Standardumformungstrick:
[mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$, [/mm] also [mm] $\cos(z)=\sqrt{1-\sin^2(z)}$
[/mm]
Damit [mm] $...=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(y))}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$
[/mm]
> So wenn ich das verstanden habe kann ich mich auch an meine
> Aufgaben trauen, die ich bearbeiten muss.
> Bin Dankbar für jede hilfe. DANKE im Voraus!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Fr 15.01.2010 | | Autor: | bAbUm |
> Hallo bAbUm,
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> mache Exponenten mit dem Dach ^ (links neben der 1), die
> Exponenten setze (wenn sie länger als 1 Zeichen sind) in
> geschweifte Klammern {}
>
> Also [mm][code]\sin^2(y)[/code][/mm] etwa ergibt [mm]\sin^2(y)[/mm]
>
> Deine Benutzung des Formeleditors macht das Zitieren
> unmöglich, ich musste ne Menge editieren
>
> Habe alle Farben und sonstigen Humbuk herausnehmen
> müssen!
Tut mir leid. ich wusste nicht das der doofe editor keine "²" zeichen mag sondern nur ^2. danach ist man immer schlauer nicht ^^
naja ich danke Euch beiden nochmal
Gruß bAbUm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Fr 15.01.2010 | | Autor: | gfm |
Es gilt [mm] f^{-1}\circ [/mm] f=id und damit nach der Kettenregel [mm] f'(f^{-1})'\circ [/mm] f=1
Daraus folgt [mm] (f^{-1})' [/mm] = [mm] 1/f'\circ f^{-1}. [/mm] Mit Variablen ausgeschrieben heißt das [mm] (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(x)|_{x=f^{-1}(y)}} [/mm] oder auch [mm] f'(x)=\bruch{1}{(f^{-1})'(y)|_{y=f(x)}} [/mm] aus Symmetriegründen.
[mm] \tan^{2}(x) [/mm] soll bedeuten [mm] (tan(x))^{2}
[/mm]
Beachte [mm] sin^{2}+cos^{2}=1
[/mm]
Schnapp Dir einfach eine der Formeln und setze Funktion und Umkehrfunktion ein und Du wirst sehen, dass alles gut ist. :)
Reicht Dir das?
LG
gfm
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