Differenzengleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Di 07.07.2015 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass alle Lösungen von [mm] $y_n [/mm] - [mm] 2y_{n+1} [/mm] + [mm] y_{n+2} [/mm] = 8$ durch [mm] $y_n [/mm] = [mm] 4n^2 [/mm] + bn + c$ gegeben sind. |
Das Thema ist mir völlig fremd, ich versuche mich gerade ein wenig einzuarbeiten,
(siehe https://cewebs.cs.univie.ac.at/inf-gma/_vo/index.php?m=F&t=unterlagetermin&c=afile&CEWebS_what=Unterlagen&CEWebS_rev=44&CEWebS_file=GMA_VO_SS_2011_12_Differenzengleichungen.pdf)
obwohl ich eigentlich nur diese eine Gleichung lösen muss.
Deswegen wäre ich für jegliche Hilfe insbesondere was Formalia betrifft sehr dankbar.
Wenn ich es richtig verstanden habe, handelt es sich dabei um eine inhomogene Differenzengleichung 2. Ordnung.
Die Lösung besteht aus der Lösung der homogenen Gleichung [mm] $y_n [/mm] - [mm] 2y_{n+1} [/mm] + [mm] y_{n+2} [/mm] = 0$ und einer partikulären Lösung.
Wegen $1 - 2 + 1 = 0$ kann ich die Ansätze [mm] $y_t [/mm] = c$ und [mm] $y_t [/mm] = ct$ nicht nehmen, deswegen wähle ich den Ansatz [mm] $y_t [/mm] = [mm] ct^2$ [/mm] .
Eingesetzt in die inhomogene Gleichung erhalte ich [mm] $ct^2 -2ct^2 [/mm] + [mm] ct^2 [/mm] = 8$ und aus irgendeinem Grund weiß ich dann,
dass $c = [mm] \frac{8}{2} [/mm] = 4$ sein muss. Warum?
Weiter geht's mit dem Lösen der homogenen Gleichung [mm] $y_n [/mm] - [mm] 2y_{n+1} [/mm] + [mm] y_{n+2} [/mm] = 0$.
Ich setzte [mm] $y_t [/mm] = [mm] A\beta^t$ [/mm] ein und erhalte: $ [mm] A\beta^t [/mm] - 2 [mm] A\beta^{t+1} [/mm] + [mm] A\beta^{t+2} [/mm] = 0$
also [mm] $\beta^t\cdot(A [/mm] - 2 [mm] A\beta [/mm] + [mm] A\beta^2) [/mm] = 0$
und somit [mm] $A\beta^2 [/mm] - 2 [mm] A\beta [/mm] + A = 0$ und mit der p-q-Formel: [mm] $\beta_{1,2} [/mm] = 1$ und was nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 07.07.2015 | | Autor: | chrisno |
> ...
> Wegen [mm]1 - 2 + 1 = 0[/mm] kann ich die Ansätze [mm]y_t = c[/mm] und [mm]y_t = ct[/mm]
> nicht nehmen, deswegen wähle ich den Ansatz [mm]y_t = ct^2[/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eingesetzt in die inhomogene Gleichung erhalte ich [mm]ct^2 -2ct^2 + ct^2 = 8[/mm]
> und aus irgendeinem Grund weiß ich dann,
> dass [mm]c = \frac{8}{2} = 4[/mm] sein muss. Warum?
[mm] $ct^2 -2c(t+1)^2 [/mm] + [mm] c(t+2)^2=8$ [/mm] muss da stehen
>
> Weiter geht's mit dem Lösen der homogenen Gleichung [mm]y_n - 2y_{n+1} + y_{n+2} = 0[/mm].
>
> Ich setzte [mm]y_t = A\beta^t[/mm] ein und erhalte: [mm]A\beta^t - 2 A\beta^{t+1} + A\beta^{t+2} = 0[/mm]
> also [mm]\beta^t\cdot(A - 2 A\beta + A\beta^2) = 0[/mm]
> und somit [mm]A\beta^2 - 2 A\beta + A = 0[/mm] und mit der
> p-q-Formel: [mm]\beta_{1,2} = 1[/mm] und was nun?
>
[mm] $y_t [/mm] = [mm] A_1 1^t [/mm] + [mm] A_2 [/mm] t [mm] 1^t [/mm] = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] t$ (vergl. Beisp. 12.6 aus dem Text)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Mi 08.07.2015 | | Autor: | GeMir |
Somit erhalte ich also mit [mm] $y_t [/mm] = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] t$ und Anfangswerten [mm] $y_0 [/mm] = 3$, [mm] $y_1 [/mm] = 13$, dass [mm] $A_1 [/mm] = 3$ und [mm] $A_2 [/mm] = 10$ sein soll. Also [mm] $y_t [/mm] = 3 + 10t$. Und was mache ich danach? Zusammensetzten? Kann das Beispiel nicht wirklich nachvollziehen (wegen der Anzahl von Parameter). [mm] $y_t [/mm] = 3 + 10t + [mm] 4t^2$ [/mm] wäre die allgemeine Lösung und wegen Anfangswerten, die nicht gegeben sind dann wohl [mm] $y_t [/mm] = c + bt + [mm] 4t^2$ [/mm] mit $c,b [mm] \in \mathbb{N}$? [/mm] So?
Jetzt noch formal korrekt aufschreiben. Eins nach dem anderen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
1. spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: [mm] y_n =4n^2
[/mm]
2. allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: [mm] y_n=A_1+A_2n
[/mm]
Dann ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Gl. gegeben durch
(*) [mm] y_n=4n^2+A_1+A_2n.
[/mm]
Wenn Du nun noch die Anfangsbedingungen $ [mm] y_0 [/mm] = 3 $, $ [mm] y_1 [/mm] = 13 $ gegeben hast, so musst Du damit in (*) eingehen !!
Also:
[mm] y_0=3 \gdw 3=A_1
[/mm]
[mm] y_1=13 \gdw 13=4+A_1+A_2=7+A_2 \gdw A_2=6,
[/mm]
alo
[mm] y_n=4n^2+6n+3
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mi 08.07.2015 | | Autor: | GeMir |
Ist es ok so?
[mm] $$y_{t+2} [/mm] - [mm] 2y_{t+1} [/mm] + [mm] y_t [/mm] = 8$$
Es es ist eine inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung. Zunächst bestimmen wir die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung [mm] $$y_{t+2} [/mm] - [mm] 2y_{t+1} [/mm] + [mm] y_t [/mm] = 0.$$ Wir setzen [mm] $y_t [/mm] = [mm] A\beta^t$ [/mm] und erhalten:
[mm] $A\beta^{t+2} [/mm] - [mm] 2A\beta^{t+1} [/mm] + [mm] A\beta^t [/mm] = [mm] 0$\\
[/mm]
[mm] $A\beta^{t}\cdot (\beta^2 [/mm] - [mm] 2\beta [/mm] + 1) = 0$
Die charakteristische Gleichung [mm] $\beta^2 [/mm] - [mm] 2\beta [/mm] + 1 = 0$ besitzt zwei identische Lösungen [mm] $\beta_{1,2} [/mm] = 1$.
Damit ist [mm] $A_1$ [/mm] Wie kommt man von A zu A1 (und danach A2)? auf jeden Fall eine Lösung Warum?. Eine zweite Lösung erhalten wir durch Einsetzen in welche? die Gleichung: $A_2t$. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet somit [mm] $$y_t [/mm] = [mm] A_1 [/mm] + A_2t.$$
Die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung muss noch bestimmt werden. Wegen $1 + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = 0$ und [mm] $a_1 [/mm] = -2$ setzen wir [mm] $y_t [/mm] = [mm] ct^2$ [/mm] und erhalten:
[mm] $c\cdot(t+2)^2 [/mm] - [mm] 2c\cdot(t+1)^2 [/mm] + [mm] ct^2 [/mm] = [mm] 8$\\
[/mm]
[mm] $c\cdot\big(t^2+4t+4 [/mm] - [mm] 2\cdot(t^2+2t+1) [/mm] + [mm] t^2\big) [/mm] = [mm] 8$\\
[/mm]
[mm] $c\cdot(t^2+4t+4 [/mm] - [mm] 2t^2-4t-2 [/mm] + [mm] t^2) [/mm] = [mm] 8$\\
[/mm]
$2c &= [mm] 8$\\
[/mm]
$c &= 4$
Wir setzten die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung [mm] $y_t [/mm] = [mm] 4t^2$ [/mm] und die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung [mm] $y_t [/mm] = [mm] A_1 [/mm] + A_2t$ zusammen und erhalten als allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung [mm] $$y_t [/mm] = [mm] 4t^2 [/mm] + A_2t + [mm] A_1.$$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mi 08.07.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ist es ok so?
>
> [mm]y_{t+2} - 2y_{t+1} + y_t = 8[/mm]
>
> Es
Dies
> ist eine inhomogene lineare Differenzengleichung 2.
> Ordnung. Zunächst bestimmen wir die allgemeine Lösung der
> zugehörigen homogenen Gleichung [mm]y_{t+2} - 2y_{t+1} + y_t = 0.[/mm]
Da Folgende brauchst Du nicht, da es schon allgemein durchgeführt wurde.
> Wir setzen [mm]$y_t[/mm] = [mm]A\beta^t$[/mm] und erhalten:
>
> [mm]A\beta^{t+2} - 2A\beta^{t+1} + A\beta^t = 0[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]A\beta^{t}\cdot (\beta^2 - 2\beta + 1) = 0[/mm]
>
Hier geht es weiter
> Die charakteristische Gleichung [mm]\beta^2 - 2\beta + 1 = 0[/mm]
> besitzt zwei identische Lösungen [mm]\beta_{1,2} = 1[/mm].
Das ist wieder nicht nötig.
> Damit
> ist [mm]$A_1$[/mm] Wie kommt man von A zu A1 (und danach A2)? auf
> jeden Fall eine Lösung Warum?. Eine zweite Lösung
> erhalten wir durch Einsetzen in welche? die Gleichung:
> $A_2t$.
Antwort auf Deine Fragen:
Die Lösung einer DGL 2.Ordnung hat zwei Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Daher gibt es hier immer [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$. [/mm] A ohne Index hast Du bei der DGL. 1. Ordnung.
Diese Lösungen hat man einmal gefunden und sich gemerkt. Sie werden meistens nicht extra hergeleitet.
Hier geht es wieder weiter.
> Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet somit [mm]y_t = A_1 + A_2t.[/mm]
Da ist eine Leerzeile oder ein neuer Absatz angebracht.
> Die partikuläre Lösung
> der inhomogenen Gleichung muss noch bestimmt werden. Wegen
> [mm]1 + a_1 + a_2 = 0[/mm] und [mm]a_1 = -2[/mm] setzen wir [mm]y_t = ct^2[/mm] und
> erhalten:
> [mm]c\cdot(t+2)^2 - 2c\cdot(t+1)^2 + ct^2 = 8[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]c\cdot\big(t^2+4t+4 - 2\cdot(t^2+2t+1) + t^2\big) = 8[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]c\cdot(t^2+4t+4 - 2t^2-4t-2 + t^2) = 8[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]2c &= 8[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]c &= 4[/mm]
>
> Wir setzten die partikuläre Lösung der inhomogenen
> Gleichung [mm]$y_t[/mm] = [mm]4t^2$[/mm] und die allgemeine Lösung der
> zugehörigen homogenen Gleichung [mm]$y_t[/mm] = [mm]A_1[/mm] + A_2t$
> zusammen und erhalten als allgemeine Lösung der
> inhomogenen Gleichung [mm]y_t = 4t^2 + A_2t + A_1.[/mm]
Bingo. Der Text darf auch kürzer ausfallen. "Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist die Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und der partikulären Lösung der inhomogenen
Gleichung: [mm]y_t = 4t^2 + A_2t + A_1.[/mm]
Vielleicht noch eine Probe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Do 09.07.2015 | | Autor: | GeMir |
(Habe die Namen umgeändert)
Mit
[mm] $a_{n+1} [/mm] &= [mm] 4\cdot(n+1)^2 [/mm] + [mm] b\cdot(n+1) [/mm] + [mm] c$\\
[/mm]
$= [mm] 4\cdot(n^2+2n+1) [/mm] + bn + b + [mm] c$\\
[/mm]
$= [mm] 4n^2 [/mm] + 8n + 4 + bn + b + [mm] c$\\
[/mm]
$= [mm] \underbrace{4n^2 + bn + c}_{=a_n} [/mm] + 8n + 4 + [mm] b$\\
[/mm]
$= [mm] a_n [/mm] + 8n + 4 + b$
und
[mm] $a_{n+2} [/mm] &= [mm] 4\cdot(n+2)^2 [/mm] + [mm] b\cdot(n+2) [/mm] + [mm] c$\\
[/mm]
$= [mm] 4\cdot(n^2+4n+4) [/mm] + bn + 2b + [mm] c$\\
[/mm]
$= [mm] 4n^2 [/mm] + 16n + 16 + bn + 2b + [mm] c$\\
[/mm]
$= [mm] \underbrace{4n^2 + bn + c}_{=a_n} [/mm] + 16n + 16 + [mm] 2b$\\
[/mm]
$= [mm] a_n [/mm] + 16n + 16 + 2b$
erhält man:
$8 = [mm] a_n [/mm] - [mm] 2a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n+2}$\\
[/mm]
$8 = [mm] a_n [/mm] - [mm] 2\cdot(a_n [/mm] + 8n + 4 + b) + [mm] a_n [/mm] + 16n + 16 + [mm] 2b$\\
[/mm]
$8 = [mm] a_n [/mm] - [mm] 2a_n [/mm] - 16n - 8 - 2b + [mm] a_n [/mm] + 16n + 16 + [mm] 2b$\\
[/mm]
$8 = 8$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 09.07.2015 | | Autor: | GeMir |
Ja, gut, aber irgendwie hätte ich trotzdem gern gewusst, warum [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2 [/mm] t$ Lösungen sind...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Do 09.07.2015 | | Autor: | chrisno |
Probier sie aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Do 09.07.2015 | | Autor: | GeMir |
Ähm, an Stelle von... $A$ :/?
[mm] $A_1\beta^t\cdot (\beta^2 [/mm] - [mm] 2\beta [/mm] + 1) = [mm] A_1\beta^t\cdot (\beta [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] ?
Wie gesagt, den Übergang "Die charakteristische Gleichung [mm] $\beta^2 [/mm] - [mm] 2\beta [/mm] + 1 = 0$ besitzt zwei identische Lösungen [mm] $\beta_{1,2} [/mm] = 1$.
Damit ist [mm] $A_1$ [/mm] auf jeden Fall eine Lösung." verstehe ich irgendwie gar nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 09.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ähm, an Stelle von... [mm]A[/mm] :/?
>
> [mm]A_1\beta^t\cdot (\beta^2 - 2\beta + 1) = A_1\beta^t\cdot (\beta - 1)^2 = \ldots[/mm]
> ?
>
> Wie gesagt, den Übergang "Die charakteristische Gleichung
> [mm]\beta^2 - 2\beta + 1 = 0[/mm] besitzt zwei identische Lösungen
> [mm]\beta_{1,2} = 1[/mm].
> Damit ist [mm]A_1[/mm] auf jeden Fall eine
> Lösung." verstehe ich irgendwie gar nicht.
Man rechnet sofort nach, dass
[mm] y_n=A [/mm] und [mm] y_n=Bn
[/mm]
Lösungen der homogenen Gleichung
$ [mm] y_n [/mm] - [mm] 2y_{n+1} [/mm] + [mm] y_{n+2} [/mm] = 0 $
sind
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Do 09.07.2015 | | Autor: | GeMir |
Genau das hat mir gefehlt! Danke!
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