Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 10.01.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Überprüfe folgende Funktion auf Differenzierbarkeit und berechne f´(0). Zeige weiter, dass der rechtsseitige
Limes der Ableitung in x = 0 nicht existiert.
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\
x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right.
[/mm]
nicht wenn n gerade oder ungerade sondern oben x kleiner = 0 und unten x größer 0 sorry aber irgendwie hat es wieder nicht geklappt ^^ |
Hallo
diesmal habe ich nicht die Lösungen aber würde gerne diese Aufgabe mit euch lösen falls jmd Lust hat. :)
als erstes habe ich die Ableitung gebildet
[mm] f´(x)=\left\{\begin{matrix}
3x^2, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\
2x+sin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x}) , & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Anschließend würde ich den links bzw rechtsseitigen Limes bestimmen
f´(0) = lim [mm] \bruch{f(x)-0}{x-0} [/mm] = [mm] \bruch{x^2sin(\bruch{1}{x})}{x} [/mm] .
Danach ein x kürzen und man hat lim [mm] xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0
und bei dem anderen habe ich lim [mm] \bruch{x^3}{x} [/mm] = 0
nun bin ich mir nicht sicher weil da eins durch 0 im sinus steht.
PS: beim lim kommt ein pfeil nach unten aber das habe ich nicht gefunden bei den Formeln.
wäre es damit gezeigt oder muss ich den Limes von der Ableitung auch noch berechnen wie ich es hier mit dem sin gemacht habe?
LG
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Hallo,
> Überprüfe folgende Funktion auf Differenzierbarkeit und
> berechne f´(0). Zeige weiter, dass der rechtsseitige
> Limes der Ableitung in x = 0 nicht existiert.
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{wenn }x\le 0 \\
x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{wenn }x>0
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> nicht wenn n gerade oder ungerade sondern oben x kleiner =
> 0 und unten x größer 0 sorry aber irgendwie hat es wieder
> nicht geklappt ^^
x\le 0 ergibt [mm] $x\le [/mm] 0$
> Hallo
> diesmal habe ich nicht die Lösungen aber würde gerne
> diese Aufgabe mit euch lösen falls jmd Lust hat. :)
>
>
> als erstes habe ich die Ableitung gebildet
>
> [mm]f´(x)=\left\{\begin{matrix}
3x^2, & \mbox{wenn }x\le 0 \\
2x+sin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x}) , & \mbox{wenn }x>0
\end{matrix}\right.[/mm]
Da sollte im zweiten Fall [mm] $2x\red{\cdot{}}\sin(1/x)...$ [/mm] stehen ..
Oben muss streng genommen $x<0$ stehen, oder?
In allen Punkten außer $x=0$ ist $f$ als Polynom bzw. als Verketung stetiger Funktionen stetig mit den Ableitungen wie sie da stehen ...
>
> Anschließend würde ich den links bzw rechtsseitigen Limes
> bestimmen
>
> f´(0)
Das kannst du doch nicht schreiben ...
> = lim [mm]\bruch{f(x)-0}{x-0}[/mm] =[mm]\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x})}{x}[/mm] .
> Danach ein x kürzen und man hat lim [mm]xsin(\bruch{1}{x})[/mm] =
> 0
Jo, das ist der rechtsseitige Limes
>
>
> und bei dem anderen habe ich lim [mm]\bruch{x^3}{x}[/mm] = 0
Jo!
>
>
> nun bin ich mir nicht sicher weil da eins durch 0 im sinus
> steht.
> PS: beim lim kommt ein pfeil nach unten aber das habe ich
> nicht gefunden bei den Formeln.
\uparrow bzw. \downarrow für [mm] $\uparrow$ [/mm] bzw. [mm] $\downarrow$
[/mm]
>
> wäre es damit gezeigt oder muss ich den Limes von der
> Ableitung auch noch berechnen wie ich es hier mit dem sin
> gemacht habe?
Offensichtlich fehlt dir die Begründung ...
Der Sinus ist doch beschränkt, also [mm] $|\sin(x)|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Benutze damit das Einschließungslemma:
[mm] $0\le\left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le [/mm] |x|$
Nun [mm] $x\downarrow [/mm] 0$
Bleibt die Unstetigkeit der Ableitung in $x=0$ zu zeigen ...
>
>
> LG
>
Gruß
schachuzipus
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