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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | Entscheiden Sie direkt mit der Definition der Differenzierbarkeit für jede der folgenden Funktionen ob sie an der Stelle [mm] \delta=1 [/mm] differenzierbar ist :
a) f(x)= [mm] x^{3}
[/mm]
b) [mm] f(x)=|x-1|^{3}
[/mm]
c) f(x)= [mm] \wurzel{x-1} [/mm] |
Hallo,
ich bins noch mal..... Diese Funktionen kann ich Ableiten , aber mit der Definition der Differenzierbarkeit, kriege ich das nicht wirklich hin ....
vielleicht könnt ihr mir helfen...
ich hoffe :) ...............
Definition : y= [mm] \bruch{f( x_{0})-f( \delta)}{x_{0}- \delta}
[/mm]
das ist die Definition die wir uns in der Vorlesung aufgeschrieben haben....
vielen Dank im vorraus...
gruß lavanya
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Hallo,
also zunächst mal sieht deine Definition der Diffbarkeit ziemlich merkwürdig. Da sollte ein Grenzwert stehen, in etwas so:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Für deine erste Funktion ergibt sich dann z.B.:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^{3}-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} x^{2}+2x+1=3
[/mm]
Das kriegt man z.B. durch Polynomdivision heraus! Also ist die Funktion an der Stelle diffbar. Bei dem Betrag wäre ich da schon misstrauischer. Der Beweis geht aber analog.
Für die letzte Funktion ergibt sich:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{\wurzel{x-1}}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1}{\wurzel{x-1}} [/mm]
Dieser Grenzwert ist unbestimmt, da der Bruch für x gegen 1 gegen unendlich läuft. Das ist also sicher nicht diffbar.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 15.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Hallo mathmetzsch ,
Ich wollte mich nur kurz schon mal für deinen Beitrag bedanken.... jetzt versuche ich da ma durch zu kommen..... Die Definition haben wir uns so in der Vorlesung aufgeschrieben naja wie auch immer....
Aber noch eine Frage.....
[mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
Hier mache ich Polynomdivision... und es kommt 3 raus..... aber was ist mit den [mm] x^{2} [/mm] die müssen doch auch noch vorkommen oder nicht ?
Gruß Dilani
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Also Differenzierbarkeit hat etwas mit Grenzprozessen zu tun. Lies es nach, wenn du es nicht richtig verstanden hast.
Der Grenzwert lautete:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^{3}-1}{x-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 1}x^{2}+x+1
[/mm]
=3
Da kann doch gar nichts mit [mm] x^{2} [/mm] herauskommen, weil x gegen 1 läuft. Betrachtest du das allgemein, dann wirst du für [mm] x\to x_{0} [/mm] natürlich als Ableitung [mm] 3x_{0}^{2} [/mm] rausbekommen. I.A. ist das aber schwieriger auszurechnen, als an einer best. Stelle!
Sind alle Unklarheiten beseitigt?
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Hi, ...
so jetzt habe ich das verstanden..... Dankeschön....
Vielleicht kannst du mir jetzt noch sagen.... ob es richtig sein kann das bei aufgabe b) [mm] \limes_{x\rightarrow\1} x_{0}^{2}-2x_{0}+1 [/mm] = 0 rauskommt.....
Ja und bei c) [mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{1}{x_{0}-1}
[/mm]
ist ja an der Stelle 1 nicht deffiniert... da man ´nicht durch Null teilen kann.....
ist das so richtig?
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