Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Di 03.02.2004 | | Autor: | Tina |
Hallo zusammen ich habe hier ne Aufgabe die mir ein paar Probleme macht. Könntet ihr mir vielleicht dazu einen Tipp geben?
Also die Aufgabe lautet:
Die Funktionen f und g seien auf einem abgeschlossenen Intervall I differenzierbar, und für alle [mm]x\in I[/mm] gelte [mm]f(x)g^{'}(x)\neq f^{'}(x)g(x)[/mm]. Zeigen sie, dass zwischen zwei Nullstellen von f immer eine Nullstelle von g liegt.
Ich danke euch schon im vorraus.
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 04.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Tina,
es seien [mm]x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm] zwei Nullstellen von [mm]f[/mm] in [mm]I[/mm] mit [mm]x_0 < x_1[/mm].
Wegen
[mm]f(x_0)\cdot g'(x_0) \ne f'(x_0) \cdot g(x_0)[/mm]
und
[mm]f(x_1)\cdot g'(x_1) \ne f'(x_1) \cdot g(x_1)[/mm]
folgt:
[mm]g(x_0) \ne 0[/mm] und [mm]g(x_1) \ne 0[/mm],
d.h. die Funktion
[mm]h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}[/mm]
ist in [mm]x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm] definiert.
Wäre nun
[mm]g(x) \ne 0 [/mm] für alle [mm]x \in ]x_0,x_1[[/mm],
so wäre [mm]h[/mm] eine in [mm][x_0,x_1][/mm] stetige und [mm]]x_0,x_1[[/mm] differenzierbare Funktion mit
[mm]h(x_0) = 0 = h(x_1)[/mm].
Nach dem Mittelwertsatz müsste es dann ein [mm]x \in ]x_0,x_1[[/mm] geben mit
[mm]h'(x) = 0[/mm].
Es gilt aber nach Voraussetzung
[mm]h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \ne 0[/mm]
für alle [mm]x \in I[/mm], Widerspruch.
Daher muss es ein [mm]x \in ]x_0,x_1[[/mm] geben mit
[mm]g(x)=0[/mm],
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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