Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mi 13.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Ist die Funktion f : [mm] R^2 \to [/mm] R mit f(0, 0) = 0 und
f(x, y) [mm] =\bruch{x^3}{ \wurzel{x^2 + y^2}}
[/mm]
für (x, y) [mm] \not= [/mm] (0, 0)
im Nullpunkt differenzierbar? |
Hallo, ich habe offensichtlich das kapitel differnzierbarkeit mit mehreren veränderlichen nicht kapiert.
Was genau muss man zeigen, wir können dies ruhig an diesm Beispiel klären.
Ich hoffe ich verstehe das.
MfG
CPH
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 13.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Deine Funktion bildet den [mm] \IR^{2} [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ab.
Da er nur in den [mm] \IR [/mm] abbildet ist die Ableitung f'(x,y)=grad(f(x,y))
Also ist f differenzierbar, wenn f partiell differenzierbar ist und das ist der fall, wenn f in alle Koordinatenrichtungen differenzierbar ist.
Wenn dann [mm] (x,y)\to(0,0), [/mm] muss auch [mm] f(x,y)\to0 [/mm] erfüllt sein.
Und nur dann ist es im Nullpunkt differenzierbar.
Das ist eigentlich alles, was du zu zeigen hast.
Ich hoffe das hilft dir erst mal weiter.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo.
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> Deine Funktion bildet den [mm]\IR^{2}[/mm] nach [mm]\IR[/mm] ab.
> Da er nur in den [mm]\IR[/mm] abbildet ist die Ableitung
> f'(x,y)=grad(f(x,y))
>
> Also ist f differenzierbar, wenn f partiell differenzierbar
> ist und das ist der fall, wenn f in alle
> Koordinatenrichtungen differenzierbar ist.
Nein, das genügt nicht. Die partiellen Ableitungen müssen zudem stetig sein.
Nebenbei bemerkt: diese Frage wurde neulich in diesem Forum bereits diskutiert, siehe https://www.vorhilfe.de/read?i=272142
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mi 13.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Das hab ich ja mit dieser Grenzwertbetrachtung auch gemacht.
Das heißt ja, dass die Funktion in (0,0) stetig ist.
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