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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 10.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab eine kurze Frage zur Gateaux bzw Frechet-Diffbarkeit. Ich hab das bei wiki (http://en.wikipedia.org/wiki/Fréchet_derivative ) auch schon nachgeschlagen. Eine Funktion, die Frechet-diffbar ist, ist ja auch Gateaux-diffbar, d.h. Frechet ist die stärkere Eigenschaft. Kann man daraus aber auch etwas über die Stetigkeit einer Funktion sagen?
Also folgt aus beiden oder aus einem der Diffbarkeitskriterien, dass die Funktion dann automatisch auch stetig ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 10.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> ich hab eine kurze Frage zur Gateaux bzw
> Frechet-Diffbarkeit. Ich hab das bei wiki
> (http://en.wikipedia.org/wiki/Fréchet_derivative ) auch
> schon nachgeschlagen. Eine Funktion, die Frechet-diffbar
> ist, ist ja auch Gateaux-diffbar, d.h. Frechet ist die
> stärkere Eigenschaft. Kann man daraus aber auch etwas über
> die Stetigkeit einer Funktion sagen?
Frechet: da nach Wikipedia die Ableitung stetig ist (bounded operator), ist es dort auch f (Beweis wie im endlich dimensionalen dann).
Gateaux: das ist schon im 1-dim. falsch. Seihe Aufgabe 17 aus Königsberger, Ana II.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Do 10.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke erstmal für die Antwort. Bei Wiki steht aber auch in den Bsp, dass wenn die Funktion nicht stetig ist, sie auch nicht Frechet diffbar sein kann, warum ist das so? Das würde ja dann in beide Richtungen gelten...?!
Bedeutet "bounded" so viel wie stetig?
Zu Gateaux, ich hab leider den Königsberger nicht zur Hand. Aber wenn ich das nun richtig verstanden habe, kann eine nicht stetige Fkt durchaus Gateaux diffbar sein und eine Gateauxdiffbare Fkt muss nicht stetig sein. Das zeigt ja das Bsp.
f(x,y) = [mm] \frac{x^4y}{x^6+y^3}, [/mm] wenn ich das richtig nachvollzogen habe.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Do 10.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> danke erstmal für die Antwort. Bei Wiki steht aber auch in
> den Bsp, dass wenn die Funktion nicht stetig ist, sie auch
> nicht Frechet diffbar sein kann, warum ist das so?
Weil sonst die Funktion stetig wäre? Hast du dir den (guten!) Artikel denn überhaupt ganz durchgelesen?
> Das
> würde ja dann in beide Richtungen gelten...?!
welche Richtungen? Ich verstehe nicht, was du meinst.
> Bedeutet "bounded" so viel wie stetig?
Das steht im Link zu "bounded linear operator" auf Wikipedia, kurz vorgelesen: "A linear operator is bounded if and only if it is continuous."
> f(x,y) = [mm]\frac{x^4y}{x^6+y^3},[/mm] wenn ich das richtig
> nachvollzogen habe.
Ist ja im Wikipedia-Artikel erklärt - schon ersucht selbst zu beweisen?
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:25 Do 10.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Secki,
ok, danke für die Erklärungen. Gateaux und Frechet hab ich nun hinbekommen.
Noch eine andre Frage, ich häng grad an der Stetigkeit.
f(x,y) = [mm] \frac{x^3 y}{x^4 + y^2}, [/mm] f(0,0) = 0.
Ich hatte nur die Idee zu zeigen, dass f total diffbar ist und daraus würde ja auch die Stetigkeit folgen.
Mit f(x,y) = [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] \frac{df}{dx}(x_0,y_0)(x-x_0) [/mm] + [mm] \frac{df}{dy} (x_0,y_0) (y-y_0) [/mm] + R(x)
Die partiellen Ableitungen in (0,0) sind jeweils Null, also ist f(x,y) = R(x)
Nun häng ich aber an diesen Grenzwert:
[mm] \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(x,y)}{\|(x,y)-(0,0)\|} [/mm]
Der sollte Null sein, wenn f total diffbar ist. Wie kann ich den berechnen? Wie krieg ich die Wurzel im Nenner weg?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
Frage hat sich erledigt, man kann sich den Umweg über die totale Diffbarkeit natürlich sparen. Betrachet [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y)^2 \geq [/mm] 0 und [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y)^2 \geq [/mm] 0, umformen ergibt | [mm] \frac{x^2 y}{x^4+y^2}| \geq \frac{1}{2}, [/mm] auf beiden Seiten mit |x| multipliziert und Grenzwert für (x,y) [mm] \rightarrow [/mm] (0,0) betrachtet, ich hoff das kommt so hin 
Viele Grüße,
Riley
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Hallo,
> > ich hab eine kurze Frage zur Gateaux bzw
> > Frechet-Diffbarkeit. Ich hab das bei wiki
> > (http://en.wikipedia.org/wiki/Fréchet_derivative ) auch
> > schon nachgeschlagen. Eine Funktion, die Frechet-diffbar
> > ist, ist ja auch Gateaux-diffbar, d.h. Frechet ist die
> > stärkere Eigenschaft. Kann man daraus aber auch etwas über
> > die Stetigkeit einer Funktion sagen?
>
> Frechet: da nach Wikipedia die Ableitung stetig ist
> (bounded operator), ist es dort auch f (Beweis wie im
> endlich dimensionalen dann).
>
Vorsicht: die ableitung von $f$ muss nicht stetig sein (in $x$!), sondern die ableitung in einem festen punkt $x$ ist ein stetiger operator. Vergleiche dazu immer den fall [mm] $R^n$, [/mm] der operator $A$ korrespondiert dann mit der jacobi-matrix in einem festen punkt. Diese matrix wiederum beschreibt eine stetige lineare abbildung. es ist aber keinesfalls gesagt, dass die jacobi-matrix stetig von x abhaengt.
wie schon von euch gesagt, ist die frechet-abl. ja so etwas wie die verallgemeinerung der totalen diffbarkeit, waehrend die gateaux-abl. die partielle diffbarkeit in beliebige banachraeume verallgemeinert. Im 1-dim. fallen diese beiden begriffe aber zusammen, s.d. nach deinem verstaendnis oben jede diffbare funktion eine stetig ableitung haette.
zur ausgangsfrage: aus frechet-diffbarkeit folgt natuerlich wie im mehrdimensionalen [mm] (R^n) [/mm] die stetigkeit. ginge [mm] $\|f(x+h)-f(x)\|$ [/mm] nicht gegen 0 mit h gegen 0, koennte der bei wiki beschriebene limes niemals 0 sein.
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
vielen Dank für deine Erklärungen!
Viele Grüße,
Riley
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