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Hallo, wie zeigt man ob die Funktion differenzierbar ist, z.B.: f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}*&\mbox{cos{1/x}, für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Ist f' stetig in [mm] \IR
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Do 21.04.2005 | | Autor: | Nam |
Hi,
dass f(x) für [mm]x \not= 0[/mm] differenzierbar ist, ist klar. Der strittige Punkt ist x=0.
Eine Funktion f ist im Punkt a differenzierbar, wenn der Grenzwert [mm]\limes_{x \to a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}[/mm] existiert.
Für uns also:
[mm]\limes_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = \limes_{x \to 0}{\frac{x^2 * cos(\frac{1}{x})}{x}} = \limes_{x \to 0}{x * cos(\frac{1}{x})} = 0 =: f'(0)[/mm]
Damit ist f also auch im Punkt x=0 differenzierbar und die Ableitung lautet:
[mm]f'(x)=\begin{cases} 0, & x=0 \\ 2x cos(\frac{1}{x}) + sin(\frac{1}{x}), & x \not= 0 \end{cases}[/mm]
f' ist stetig in [mm]x \not= 0[/mm], also untersuchen wir noch den Punkt x=0.
f' ist stetig in wenn gilt: [mm]\limes_{x \to 0}{f'(x)} = f'(0)[/mm]
[mm]\limes_{x \to 0}{f'(x)} = \limes_{x \to 0}{2x cos(\frac{1}{x}) + sin(\frac{1}{x})}[/mm]
[mm]2x cos(\frac{1}{x})[/mm] konvergiert für [mm]x \to 0[/mm] gegen 0. [mm]sin(\frac{1}{x})[/mm] allerdings konvergiert nicht. f'(x) ist also unstetig in x=0.
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