Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f:[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] def. durch [mm] f(x)=\begin{cases} x^2 sin(1/x), & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f diff'bar ist und bestimmen Sie die Ableitung f':[-1,1] [mm] \to \IR
[/mm]
b) Untersuchen Sie die Ableitung f':[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] auf Stetigkeit. |
Hallo.
Hab mir folgendes überlegt.
a)
Betrachte: f[-1,0) [mm] \to \IR [/mm] dann f(x)= [mm] x^2 [/mm] sin(1/x) (x<0)
nun weiß ich:
[mm] g(x)=x^2 [/mm] diff'bar in ganz [mm] \IR
[/mm]
h(x)= sin(x) diffbar in ganz [mm] \IR [/mm]
i(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] diffbar in [mm] \IR [/mm] \ {0}
also: f(x)= g(x) (f [mm] \circ [/mm] i) (x) diffbar in [-1,0)
analog für f:(0,1] [mm] \to \IR
[/mm]
f'(0) [mm] =\limes_{x\rightarrow0} \bruch{f(x) -f(0)}{x-0}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0} [/mm] xsin(1/x) = 0 (existiert)
also: f in [-1,1] diffbar
Ableitung:
f':[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] , [mm] f'(x)=\begin{cases} 2x sin(1/x)-cos(1/x), & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
b) falls a) stimmt,
f':[-1,1] \ {0} [mm] \to \IR [/mm] ist ja dann diffbar, begründung wie bei a)
also stetig.
wenn ich jetzt die Stetigkeit in 0 betrachte, reicht es dann den Grenzwert (soll hier immer der linksseitige sein)
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f´(x) =
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] 2xsin(1/x) - [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] cos(1/x) = [mm] -\limes_{x\rightarrow0} [/mm] cos(1/x)=
[mm] -\limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] cos(x)
zu betrachten.
dieser existiert ja nicht und damit ist f' in 0 nicht stetig.
( mir ist gerade eingefasllen, dass ich das wohl nicht darf, da es sinnlos ist mit nicht existierenden grenzwerten zu rechnen)
Ich hoffe mir kann jmd. Hilfestellung geben.
Gruß
ConstantinJ
|
|
| |
|
Hallo,
ich halte deine Vorgehensweise eigentlich schon für richtig. Je nach Kontext darf man die Diffrenzierbarkeit dieser Funktion für [mm] x\ne{0} [/mm] schon auch mal voraussetzen, aber sicher ist sicher. 
Deine Vorgehensweise bei b) ist auch richtig: das Argument, dass der Grenzwert nicht existiert reicht aus; und das Fehlen von links- oder der rechtsseitigem Grenzwert reicht aus, denn für Stetigkeit müssten beide existieren.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
