Differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien I, J Intervalle, f: I [mm] \to \IR [/mm] stetig, g: J [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar mit [mm] g(J)\subset [/mm] I. Zeigen Sie, dass
F(x):= [mm] \integral_{a}^{g(x)}f(t)dt, [/mm] (a [mm] \in [/mm] I fest),
in J differenzierbar ist und dass F'(x)=f(g(x))g'(x), x [mm] \in [/mm] J.
|
Das hier sieht wieder so verdammt schwierig aus.Ob das auch jemand lösen kann,der nicht gerade ne Granate in Integralrechnung ist? Ersteinmal zum ersten Teil...ich versuche das was ich weiß mal niederzuschreiben:
um die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem punkt zu berechnen geht man normalerweise ja wie folgt vor:
Differenzierbarkeit von f bzgl. J wenn:
[mm] f'(J)=\limes_{x\rightarrow J}\bruch{f(x)-f(J)}{x-J}
[/mm]
So ähnlich muss ich das sicherlich auch hier wieder machen,nur ich weiß einfach nicht wie ich hier richtig vorgehen soll. Lg
|
|
| |
|
Hallo Tigerlilli,
> Es seien I, J Intervalle, f: I [mm]\to \IR[/mm] stetig, g: J [mm]\to \IR[/mm]
> stetig differenzierbar mit [mm]g(J)\subset[/mm] I. Zeigen Sie, dass
>
> F(x):= [mm]\integral_{a}^{g(x)}f(t)dt,[/mm] (a [mm]\in[/mm] I fest),
>
> in J differenzierbar ist und dass F'(x)=f(g(x))g'(x), x [mm]\in[/mm]
> J.
>
>
> Das hier sieht wieder so verdammt schwierig aus.Ob das auch
> jemand lösen kann,der nicht gerade ne Granate in
> Integralrechnung ist? Ersteinmal zum ersten Teil...ich
> versuche das was ich weiß mal niederzuschreiben:
>
> um die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem punkt zu
> berechnen geht man normalerweise ja wie folgt vor:
>
> Differenzierbarkeit von f bzgl. J wenn:
>
> [mm]f'(J)=\limes_{x\rightarrow J}\bruch{f(x)-f(J)}{x-J}[/mm]
>
> So ähnlich muss ich das sicherlich auch hier wieder
> machen,nur ich weiß einfach nicht wie ich hier richtig
> vorgehen soll. Lg
Ausgeschrieben ergibt das:
[mm]F(x):= \integral_{a}^{g(x)}f(t)dt=F\left(g\left(x\right)\right)-F\left(a\right)[/mm]
Damit kannst Du den Differenzenquotienten bilden.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich stell mich manchmal wirklich blöd an und weiß nicht wie ich immer genau vorgehen muss,ich versuchs wieder:
[mm] D(a)=\bruch{g(x)-f(a)}{g(x)-a} [/mm] bzw. [mm] \bruch{f(g(x)+a)-f(g(x))}{a} [/mm] ???
lieben Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Tigerlilli,
> Ich stell mich manchmal wirklich blöd an und weiß nicht wie
> ich immer genau vorgehen muss,ich versuchs wieder:
>
> [mm]D(a)=\bruch{g(x)-f(a)}{g(x)-a}[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{f(g(x)+a)-f(g(x))}{a}[/mm] ???
Es ist der Differenzenquotient
[mm]\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\left(x+h\right)-x}[/mm]
zu berechnen.
Und dann ist der Grenzübergang für [mm]h \rightarrow 0[/mm] zu vollziehen.
[mm]\left(F\left(g\left(x\right)\right)\right)'=\limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\left(x+h\right)-x}}[/mm]
>
> lieben Gruß
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
wenn h nun gegen 0 geht dann muss es doch nun so heißen,oder?:
(F(g(x)))' [mm] =\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x+0))-F(g(x))}{(x+0)-x}
[/mm]
(F(g(x)))' [mm] =\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x))-F(g(x))}{x-x}
[/mm]
hebt sich also alles auf,ist das korrekt so? Lg
|
|
|
| |
|
Hallo Tigerlilli,
> wenn h nun gegen 0 geht dann muss es doch nun so
> heißen,oder?:
>
> (F(g(x)))' [mm]=\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x+0))-F(g(x))}{(x+0)-x}[/mm]
>
> (F(g(x)))' [mm]=\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x))-F(g(x))}{x-x}[/mm]
>
> hebt sich also alles auf,ist das korrekt so? Lg
>
Leider nicht.
Berechne erstmal den Differenzenquotienten
Der Differenzenquotient so definiert:
[mm]\bruch{F\left(x+h\right)-F\left(x\right)}{\left(x+h\right)-x} \ \left(1\right)[/mm]
Nun hast Du aber stehen:
[mm]\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\left(x+h\right)-x} \ \left(2\right) [/mm]
Das heisst irgendwie musst Du auf die obige Form (1) gebracht werden.
Der Differenzenquotient muß sich dann so schreiben lassen:
[mm]{\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\dots - \dots}}*{\bruch{ \dots - \dots }{\left(x+h\right)-x}}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
$ [mm] {\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{(x+h)-x}}\cdot{}{\bruch{ F(x+h)-F(x)}{\left(x+h\right)-x}} [/mm] $ und dieses dann ausmultiplizieren? Lg
|
|
|
| |
|
Hallo Tigerlilli,
>
> [mm]{\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{(x+h)-x}}\cdot{}{\bruch{ F(x+h)-F(x)}{\left(x+h\right)-x}}[/mm]
> und dieses dann ausmultiplizieren? Lg
Betrachte das Argument von F im ersten Bruch.
Was muss dann im Nenner stehen?
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
mhh...ich muss zu dir ehrlich sein und sagen,dass ich grad nicht wirklich weiß wie es weiter gehen muss. Ich kanns bisher leider noch nicht nachvollziehen,tut mir leid :'-( lieben Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Tigerlilli,
> mhh...ich muss zu dir ehrlich sein und sagen,dass ich grad
> nicht wirklich weiß wie es weiter gehen muss. Ich kanns
> bisher leider noch nicht nachvollziehen,tut mir leid :'-(
Das Argument von [mm]F\left(g\left(x\right)\right)[/mm] ist [mm]\blue{g\left(x\right)}[/mm]
Daher lautet der Diffrierenzenquotient
[mm]\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{ \blue{g\left(x+h\right)-g \left(x\right)} } * \bruch{\blue{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}}{ \left(x+h\right)-x} }[/mm]
> lieben Gruß
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
und was genau sagt mir das nun bzw. wie muss man nun weiter vorangehen? Lg
|
|
|
| |
|
Hallo Tigerlilli,
> und was genau sagt mir das nun bzw. wie muss man nun weiter
> vorangehen? Lg
Bilde den Grenzwert für h gegen 0.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Den Grenzwert für h gegen 0 bilden..mhh,so evtll:?
[mm] \bruch{F(g(x+0))-F(g(x))}{g(x+0)-g(x)}*\bruch{g(x+0)-g(x)}{(x+0)-x}=\bruch{F(g(x))-F(g(x))}{g(x)-g(x)}*\bruch{g(x)-g(x)}{x-x} [/mm] ???
liebe Grüße
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Damit hättest Du doch zweimal den unbestimmten Ausdruck $\bruch{0}{0}$ dastehen.
).
