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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Di 17.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | | Die Funktion f(z)= [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } z \mbox{ =0} \\ exp(-1/z^4), & \mbox{für } z \mbox{ {ungleich 0}} \end{cases} [/mm] erfüllt für alle z aus [mm] \IC [/mm] die Cauchy-Riemannschen Differnetialgleichungen und ist für alle z aus [mm] \IC [/mm] ohne 0 komplex diffbar, im Nullpunkt jedoch nicht. |
Hi!
Der größte Teil der Aufgabe ist mir klar. Bei mir hakts jedoch am Beweis, warum es im Nullpunkt nicht komplex differenzierbar sein soll (was mir anschaulich klar ist).
Zunächst die Frage: Woran erkenne ich, dass im Nullpunkt die Cauchy-Riemannschen Gleichungen gelten. Wie kann man die denn hier bestimmen? Ich hab mal versucht, jeweils Realteil und Imaginärteil von [mm] -1/z^4 [/mm] zu berechnen um dann mittels der e-Funktion [mm] exp(-1/z^4)= [/mm] u + iv umschreiben zu können, um die Gleichungen zu erhalten. Aber das scheint mir zu aufwendig zu sein. Oder gibts hier einen Trick mit der Kettenregel oder einer Substitution?
Desweiteren wüsste ich dann nicht, wie ich zeige, dass sie im Nullpunkt nicht komplex diffbar ist, obwohl sie die Gleichungen erfüllt. Dort wird man wohl zeigen müssen, dass sie in 0 nicht total ableitbar ist, was ja auich noch erfüllt sein muss.
In einem Lösungsbuch wird besxchrieben, dass sie in der Nähe von 0 nicht beschränkt ist. Das leuchtet mir ein. Ich würde es aber nach Möglichkeit dennoch über die Cauchy-Gleichungen beweisen, wenn mögich
Vielleicht kann mir jemand hier helfen...
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Komplexe Differenzierbarkeit ist gleichbedeutend mit reeller Differenzierbarkeit plus Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Reelle Differenzierbarkeit aber ist eben mehr als die Existenz partieller Ableitungen. Die partiellen Ableitungen berücksichtigen ja nur zwei Richtungen, die [mm]x[/mm]- und die [mm]y[/mm]-Richtung. Reelle Differenzierbarkeit jedoch respektiert alle Richtungen.
Einmal unterstellt, die Aussage der Aufgabe stimmt, daß an der Stelle 0 die partiellen Ableitungen nach [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] existieren (und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen dort gelten), dann kann die fehlende komplexe Differenzierbarkeit bei 0 nur darin begründet sein, daß der Differenzenquotient bei Annäherung aus verschiedenen Richtungen verschiedene Grenzwerte liefert. Es genügt daher, zwei Richtungen anzugeben, die zu verschiedenen Grenzwerten führen. Mit der [mm]x[/mm]- und [mm]y[/mm]-Richtung allein kann der erwünschte Mißerfolg nicht eintreten, denn nach der Unterstellung oben soll es für diese beiden Richtungen ja gerade gutgehen.
Erst einmal der Differenzenquotient an der Stelle 0:
[mm]\frac{f(z) - f(0)}{z} = \frac{\operatorname{e}^{- \frac{1}{z^4}}}{z} \, , \ \ z \neq 0[/mm]
1. Zunächst eine Annäherung aus der [mm]x[/mm]-Richtung an 0 durch die Spezialisierung
[mm]z = \frac{1}{n} \, , \ \ n \geq 1 \ \ \text{ganz}[/mm]
Setze oben ein und führe den Grenzübergang [mm]n \to \infty[/mm] durch. Was beobachtet man?
2. Jetzt brauchen wir noch eine andere "schiefe" Richtung. Um einen schönen Ausdruck zu bekommen, liegt es nahe, es mit der vierten Wurzel aus [mm]-1[/mm], oder noch einfacher: aus [mm]-4[/mm] zu probieren: [mm]\left( 1 + \operatorname{i} \right)^4 = -4[/mm]. Wir spezialisieren also
[mm]z = \frac{1 + \operatorname{i}}{n} \, , \ \ n \geq 1 \ \ \text{ganz}[/mm]
Setze auch das oben in den Differenzenquotienten ein und untersuche das Verhalten für [mm]n \to \infty[/mm].
Du kannst es auch einmal aus der [mm]y[/mm]-Richtung versuchen, z.B. mit [mm]z = \frac{\operatorname{i}}{n}[/mm], und wirst feststellen, daß der gewünschte Widerspruch zur [mm]x[/mm]-Richtung nicht entsteht.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:00 Di 17.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Hi! Danke für deine ausführliche Antwort. Bei 1. kommt 0 raus, bei 2. unendlich. Klar: Dann kann es nicht komplex diffbar sein.
Aber: Wie kann ich den nun sichergehen, dass das bei den anderen Punkten, für die die CRDGL gleichen, nicht auch der Fall sein könnte (natürlich ist dashier nicht so, würde man hier wahrscheinlich Argument mit Verkettung etc. begründen.
Aber allgemein: Gibt es eine Möglichkeit, wie ich ausschließlich anhand der Partiellen Ableitungen erkennen/ untersuchen kann, ob Komplexe Diffbarkeit vorliegt? CRDGL + Partielle Ableitungen stetig ??
Natürlich würde dies bei solchen Funktionen praktisch nix bringen, weil es wahrscheinlich zu kompliziert wäre, sie zu bestimmen.
Danke nochmal...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Di 17.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Ja doch so müsste es theoretisch gehen: Wenn CRDGL gelten und die parteillen Ableitungen stetig sind, dann sollte es (auch nach WIKI) klappen?
Nebenbei: Kennst du bzw. ihr ein einfaches Beispiel von einer Funktion, die in einem Punkt die CRDGL erfüllen, deren partielle Ableitungen aber nicht stetig sind und daher auch nicht komplex diffbar in diesem Punkt? Irgendwas mit Logarithmus vielleicht...
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Ja, ein solches Beispiel kenne ich. Und kennst es auch: Es ist das [mm]f[/mm] dieser Aufgabe. Die partiellen Ableitungen bei 0 existieren (spezialisiere dazu [mm]z = x[/mm] bzw. [mm]z = \operatorname{i}y[/mm] im Differenzenquotienten und führe den Grenzübergang [mm]x \to 0[/mm] bzw. [mm]y \to 0[/mm] durch). Und es gelten in 0 auch die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. An allen anderen Stellen ist das sowieso klar, da liegt ja sogar komplexe Differenzierbarkeit vor - und in der Tat: die Argumentation mit der Kettenregel genügt.
Wären nun die partiellen Ableitungen in 0 stetig, so wäre [mm]f[/mm] in 0 reell, also auch komplex differenzierbar. Das ist es aber gerade nicht, wie wir schon eingesehen haben.
Ist [mm]u[/mm] der Realteil von [mm]f[/mm], so gilt zum Beispiel für die partielle Ableitung nach [mm]x[/mm]:
[mm]u_x = \begin{cases} 2 \left( z^{-5} \exp \left(- z^{-4} \right) + \overline{z}^{\, -5} \exp \left(- \overline{z}^{\, -4} \right) \right) & \mbox{für} \ \ z \neq 0 \\ 0 & \mbox{für} \ \ z=0 \end{cases}[/mm]
Spezialisiert man etwa [mm]z = \operatorname{i}t[/mm] mit reellem [mm]t \neq 0[/mm], so erhält man
[mm]u_x = 0 \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ t \to 0[/mm]
Dagegen bekommt man für [mm]z = (1+\operatorname{i}) \, t[/mm] mit reellem [mm]t > 0[/mm] den Ausdruck
[mm]u_x = - \frac{1}{2t^5} \cdot \operatorname{e}^{\frac{1}{4t^4}} \to - \infty \ \ \mbox{für} \ \ t \to 0[/mm]
Daher ist [mm]u_x[/mm] unstetig in [mm]z=0[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Mi 18.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
okay - dankeschön.
ich kann zwar noch nicht jeden schritt im einzelnen nachvollziehen - werd mich aber morgen ausgiebieger damit befassen und hoffentlich dann alles verstehen.
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