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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 10.03.2012 | | Autor: | gerani |
| Aufgabe | Man zeige, dass falls [mm] u(x,0)=u_0 [/mm] für x>0 und [mm] u(x,0)=-u_0 [/mm] für x<0 die allgemeine Lösung:
[mm] u(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{1}{\wurzel{4\pi a t}} exp (-\bruch{(x-x')^2}{4at})u(x',0) dx'}
[/mm]
vereinfacht werden kann zu
[mm] u(x,t)=\bruch{2u_0}{\wurzel{\pi}}\integral_{0}^{x/\wurzel{4at}}{e^{-v^2} dv} [/mm] |
Hallo!
Ich denk mal, man muss substituieren:
[mm] v=\bruch{x-x'}{\wurzel{4at}} [/mm] aber ehrlich gesagt seh ich schon nicht warum das Integral mit diesen Anfangsbedingungen nicht gleich null ist! Weil wenn ich das Integral trenne, also von [mm] -\infty [/mm] bis 0 PLUS von 0 bis [mm] \infty, [/mm] und die Bedingungen einsetze, heben sich die Terme dann nicht weg?
Ich freue mich sehr über Tipps!
Gerani
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> Man zeige, dass falls [mm]u(x,0)=u_0[/mm] für x>0 und [mm]u(x,0)=-u_0[/mm]
> für x<0 die allgemeine Lösung:
>
> [mm]u(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{1}{\wurzel{4\pi a t}} exp (-\bruch{(x-x')^2}{4at})u(x',0) dx'}[/mm]
>
> vereinfacht werden kann zu
>
> [mm]u(x,t)=\bruch{2u_0}{\wurzel{\pi}}\integral_{0}^{x/\wurzel{4at}}{e^{-v^2} dv}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich denk mal, man muss substituieren:
>
> [mm]v=\bruch{x-x'}{\wurzel{4at}}[/mm] aber ehrlich gesagt seh ich
hallo,
ich denke, diese substitution sieht ok aus
> schon nicht warum das Integral mit diesen
> Anfangsbedingungen nicht gleich null ist! Weil wenn ich das
> Integral trenne, also von [mm]-\infty[/mm] bis 0 PLUS von 0 bis
> [mm]\infty,[/mm] und die Bedingungen einsetze, heben sich die Terme
> dann nicht weg?
naja, du hast ja
[mm] \int_0^\infty u_0*f(x)dx+\int_{-\infty}^0 -u_0*f(x)dx
[/mm]
tauscht man beim hinteren die grenzen ergibt das
[mm] -\int_0^\infty-(-u_0)*f(x)dx
[/mm]
die beiden integrale summieren sich also auf
>
> Ich freue mich sehr über Tipps!
>
> Gerani
gruß tee
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:10 Sa 10.03.2012 | | Autor: | gerani |
Hi Tee, Danke für die schnelle Antwort! Aber das wollen wir doch gar nicht, dass es 0 ergibt, oder?! Wir wollen doch wie gesagt, das Integral irgendwie vereinfachen, mit der Substitution und den Bedingungen, sodass das untere rauskommt...
Danke für die Hilfe!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:34 So 11.03.2012 | | Autor: | gerani |
Ok also man kann wohl recht einfach auf folgende Zeile kommen:
[mm] \sqrt{4at}\integral_{-\bruch{x}{\sqrt{4at}}}^{\infty}{\bruch{u_0}{\sqrt{4\pi a t}} e^{-v^2} dv}-\integral_{-\infty}^{-\bruch{x}{\sqrt{4at}}}{\bruch{u_0}{\sqrt{\pi}} e^{-v^2} dv}
[/mm]
und ab dann komm ich auch auf das richtige Ergebnis. Sieht aber jemand wie man diese Zeile erhält? Ich denk mal durch Integration durch diese Substitution, aber ich krieg's irgendwie nicht hin...
Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 So 11.03.2012 | | Autor: | gerani |
Ok ich habs hingekriegt!! Es ist einfach Integration durch Substitution wie im Lehrbuch  Und dann bisschen Grenzen vertauschen.
DANKESCHÖN!
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