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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 So 07.01.2007 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | | Seien V, W und U endlich erzeugte Vektorräume, sei dim(V) 0 m und sei dim(U) = n. Seien f: V [mm] \to [/mm] W und g: W [mm] \to [/mm] U lineare Abbildungen mit Bild(f) = Kern (g). Ferner seien f injektiv und g surjektiv. Bestimmen Sie die Dimension von W. |
Hallo,
habe mir folgendes überlegt, komme aber nicht weiter und bin mir auch nicht sicher ob es stimmt.
f: V [mm] \to [/mm] W ist injektiv, also Kern(f)={0}
und es gilt dim(Bild(f)) + dim(Kern(f)) = dim(V) = m
Wenn ich jetzt richtig liege die Dimension von Kern(f) = 0, da die Menge ja Null ist. Also ist dim(Bild(f)) + 0 = m, also dim(Bild(f)) = m.
Dann würde weiter dim(Bild(f)) = m = dim(Kern(g)) = 0 sein.
Damit wäre dann dim(Bild(g)) = n.
Dann habe ich noch das Bild(g) = U, da g surjektiv ist. Weiß aber nicht wie ich das noch unterbringen soll.
Danke für eure Hilfe!
Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast es doch schon fast:
> Seien V, W und U endlich erzeugte Vektorräume, sei dim(V) 0
> f: V [mm]\to[/mm] W ist injektiv, also Kern(f)={0}
> und es gilt dim(Bild(f)) + dim(Kern(f)) = dim(V) = m
> Wenn ich jetzt richtig liege die Dimension von Kern(f) =
> 0, da die Menge ja Null ist. Also ist dim(Bild(f)) + 0 = m,
> also dim(Bild(f)) = m.
bis hierhin ists ok !
> Dann würde weiter dim(Bild(f)) = m = dim(Kern(g)) = 0
> sein.
wieso =0 ?!? der Kern von g ist das ganze Bild von f, was die Dimension m hat, also ist auch dim(Kern(g))=m
außerdem ist g surjektiv, also dim(Bild(g))=dim(U)=n
(das hattest du auch schon)
jetzt nur noch die Dimensionsformel für g anwenden:
dim(W)=dim(Kern(g))+dim(Bild(g))=m+n
also warst du wirklich gaaanz dicht dran..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 So 07.01.2007 | | Autor: | diego |
Vielen, vielen Dank!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:14 So 07.01.2007 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Seien V und W endlich erzeugte Vektorräume über einem Körper K. Sei n=dim(V) < dim(W)=m, und sei f. V [mm] \to [/mm] W linear. Sei f*: W* [mm] \to [/mm] V* die zu f duale Abbildung.
Beweisen Sie, dass dim(Kern(f)) [mm] \not= [/mm] dim(Kern(f*)) ist. |
Habe noch eine ähnliche Aufgabe, bei der ich aber nicht so weit komme...
Das einzige was ich wirklich habe ist, dass dim(V*) = dim(V) =n ist.
Und da der Dualraum ja ein Homomorphismus ist müsste ich doch eigentlich folgende Dimensionsformel anwenden können:
[mm] dim(Hom_{K}(V,W)) [/mm] = mn.
Aber wie??
Nochmal danke!!!
Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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