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| Aufgabe | Sei [mm] U_1 [/mm] der von den Vektoren
[mm] v_1= [/mm] (1,0,0,1) [mm] ,v_2=(-2,-1,1,1) ,v_3=(-3,-2,2,3)
[/mm]
und [mm] U_2 [/mm] der von den Vektoren
[mm] v_4=(2,1,0,3), v_5=(-1,-1,0,-2), v_6=(7,4,0,11)
[/mm]
erzeugte Teilraum von [mm] R^4. [/mm] Berechnen Sie die Dimension [mm] dim_R U_1, dim_R U_2, dim_R(U_1+U_2) [/mm] und [mm] dim_R(U_1\cap U_2) [/mm] |
Guten abend.
Ich würde als erstes [mm] v_1 v_2 v_3 [/mm] als Matrix aufschreiben.
(Dimension des Bildes der Matrix= Rang der Matrix ) dann würde ich die Matrix in die ZSF bringen, dann hätte ich [mm] dim_R U_1 [/mm] mit [mm] v_4 v_5 v_6 [/mm] das selbe dann hätte ich [mm] dim_R U_2 [/mm]
wäre das richtig?
und wie würde ich das mit dem [mm] dim_R(U_1+U_2) [/mm] und dem [mm] dim_R(U_1\cap U_2) [/mm] machen?
Lg :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:31 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Rated-R |
> Sei [mm]U_1[/mm] der von den Vektoren
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> [mm]v_1=[/mm] (1,0,0,1) [mm],v_2=(-2,-1,1,1) ,v_3=(-3,-2,2,3)[/mm]
>
> und [mm]U_2[/mm] der von den Vektoren
>
> [mm]v_4=(2,1,0,3), v_5=(-1,-1,0,-2), v_6=(7,4,0,11)[/mm]
>
> erzeugte Teilraum von [mm]R^4.[/mm] Berechnen Sie die Dimension
> [mm]dim_R U_1, dim_R U_2, dim_R(U_1+U_2)[/mm] und [mm]dim_R(U_1\cap U_2)[/mm]
>
> Guten abend.
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> Ich würde als erstes [mm]v_1 v_2 v_3[/mm] als Matrix aufschreiben.
> (Dimension des Bildes der Matrix= Rang der Matrix ) dann
> würde ich die Matrix in die ZSF bringen, dann hätte ich
> [mm]dim_R U_1[/mm] mit [mm]v_4 v_5 v_6[/mm] das selbe dann hätte ich [mm]dim_R U_2[/mm]
Hi,
kann man so machen ist aber umständlich, sagt dir Linear Unabhängig was?
Man erkennt sehr leicht das [mm] v_1+2*v_2=v_3 [/mm] ist, deshalb reicht [mm] v_1,v_2 [/mm] aus um [mm] U_1 [/mm] zu erzeugen => [mm] dim(U_1)=2
[/mm]
[mm] dim(U_2) [/mm] genauso
>
>
> wäre das richtig?
>
> und wie würde ich das mit dem [mm]dim_R(U_1+U_2)[/mm] und dem
> [mm]dim_R(U_1\cap U_2)[/mm] machen?
>
Stichwort Dimensionsformel!
für dim [mm] (U_1 \cap U_2) [/mm] einfach genau hinschauen, sollte man ohne große Rechnerei rausbekommen
> Lg :)
Ich hoffe ich konnte helfen
gruß tom
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> Sei [mm]U_1[/mm] der von den Vektoren
>
> [mm]v_1=[/mm] (1,0,0,1) [mm],v_2=(-2,-1,1,1) ,v_3=(-3,-2,2,3)[/mm]
>
> und [mm]U_2[/mm] der von den Vektoren
>
> [mm]v_4=(2,1,0,3), v_5=(-1,-1,0,-2), v_6=(7,4,0,11)[/mm]
>
> erzeugte Teilraum von [mm]R^4.[/mm] Berechnen Sie die Dimension
> [mm]dim_R U_1, dim_R U_2, dim_R(U_1+U_2)[/mm] und [mm]dim_R(U_1\cap U_2)[/mm]
>
> Guten abend.
>
> Ich würde als erstes [mm]v_1 v_2 v_3[/mm] als Matrix aufschreiben.
> (Dimension des Bildes der Matrix= Rang der Matrix ) dann
> würde ich die Matrix in die ZSF bringen, dann hätte ich
> [mm]dim_R U_1[/mm] mit [mm]v_4 v_5 v_6[/mm] das selbe dann hätte ich [mm]dim_R U_2[/mm]
>
>
> wäre das richtig?
Hallo,
wie mein Vorredner schon sagt, kannst Du das so machen.
Am besten bestimmst Du im selben Zuge gleich noch Basen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2.
[/mm]
>
> und wie würde ich das mit dem [mm]dim_R(U_1+U_2)[/mm]
Du kannst den Rang der Matrix, die die 6 erzeugenden Vektoren enthält bestimmen,
oder (bequemer) den Rang der Matrix, die die beiden Basen enthält.
> und dem
> [mm]dim_R(U_1\cap U_2)[/mm] machen?
Hier hilft Dir der Dimensionssatz.
LG Angela
>
> Lg :)
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Hallo, danke schonmal
wenn [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] beide den Rang 2 haben. laut Dimensionssatz:
dim V = dim Bild + dim Kern
4= 2 +2 ?
das wäre jetzt [mm] U_1 [/mm] geschnitten [mm] U_2?
[/mm]
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> Hallo, danke schonmal
>
> wenn [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] beide den Rang 2 haben. laut
> Dimensionssatz:
>
> dim V = dim Bild + dim Kern
> 4= 2 +2 ?
Hallo,
der Satz, den Du gerade verwendest, handelt vom Bild bzw. Kern eine linearen Abbildung bzw. Matrix.
Bezogen auf [mm] U_1 [/mm] würde er lauten
dim [mm] \IR^4 [/mm] = dim Bild [mm] U_1 [/mm] + dim Kern [mm] U_1,
[/mm]
und mit den bisherigen Ergebnissen hättest Du
dim Kern [mm] U_1=4-2=2.
[/mm]
Das wäre richtig - bloß in Deiner Aufgabe interessiert sich kein Mensch für den Kern von [mm] U_1. [/mm] Und für den von [mm] U_2 [/mm] auch nicht...
Ist Dir nicht aufgefallen, daß die Formel überhaupt nicht auf Dein Problem paßt?
Ich meinte die, die von den Dimensionen von Summe und Schnitt handelt. Schau mal, ob die bereits dran war.
Um sie zu verwenden, brauchst Du aber erstmal noch die Dimension der Summe.
> das wäre jetzt [mm]U_1[/mm] geschnitten [mm]U_2?[/mm]
Nein.
LG Angela
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hab die richtige Formel gefunden.
dim(U+W) + dim(U [mm] \cap [/mm] W) = dim U + dim W
bei mir war dim [mm] U_1 [/mm] = dim [mm] U_2 [/mm] = 2
dann hätte ich schon mal
dim(U+W) + dim(U [mm] \cap [/mm] W) = 4
nun ist es ein bisschen komisch ich würde
4+0=4 sagen sodass dim(U+W)=4 und dim(U [mm] \cap [/mm] W)=0
wäre das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 14.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum bestimmst du nicht zuerst die dim der Summe oder des Durchschnitts. wie dir gesagt wurde. gehe mehr auf die Ratschläge ein.
Gruss leduart
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