Dimension Teilraum #2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 So 22.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Welche Dimension hat der Teilraum des Vektorraums aller $ (n [mm] \times [/mm] n) $ -Matrizen der Spur Null, d.h. alle Matrizen mit
[mm] tr A := \summe_{i=1}^{n}a_{ii} = 0 [/mm] ? |
Hallo,
erstmal ein paar Verständnisfragen:
Den Vektorraum der Matrizen bildet man, indem man alle Spaltenvektoren der Matrizen als Baisis nimmt?
Demnach wäre die Dimension dieses Raumes gleich der Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren, also der Rang der Matrix, richtig?
Das heißt in dieser Aufgabe, wenn man alle $ (n [mm] \times [/mm] n) $ Matrizen nimmt, wäre der Rang n?
So, jetzt zum Teilraum:
Wenn man sich mal ein Beispiel anschaut:
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & -a_{11} } [/mm]
So sieht man, dass die Dimension 2 sein muss, da das die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren ist, die für alle $ [mm] a_{ij} [/mm] $ gebildet werden können...
Ich vermute, dass dann die Dimension aller Matrizen der Spur Null gleich n ist?
Aber auch hier habe ich keine Idee, wie ich das mathematisch formal beweisen kann?
Danke vielmals für Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Welche Dimension hat der Teilraum des Vektorraums aller [mm](n \times n)[/mm]
> -Matrizen der Spur Null, d.h. alle Matrizen mit
>
> [mm]tr A := \summe_{i=1}^{n}a_{ii} = 0[/mm] ?
> Hallo,
>
> erstmal ein paar Verständnisfragen:
>
> Den Vektorraum der Matrizen bildet man, indem man alle
> Spaltenvektoren der Matrizen als Baisis nimmt?
Nein, indem du die Matrizen als Zahlentupel auffasst. Dieser Vektorraum hat die Dimension [mm] $n^2$.
[/mm]
> So, jetzt zum Teilraum:
>
> Wenn man sich mal ein Beispiel anschaut:
>
> [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & -a_{11} }[/mm]
>
> So sieht man, dass die Dimension 2 sein muss, da das die
> Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren ist, die für
> alle [mm]a_{ij}[/mm] gebildet werden können...
Siehe oben: die Dimension ist 4, da jede Matrix auf vier unabhängigen reellen Zahlen besteht.
> Ich vermute, dass dann die Dimension aller Matrizen der
> Spur Null gleich n ist?
Nein. Die Spurbedingung [mm]\summe_{i=1}^{n}a_{ii} = 0[/mm] ist eine lineare Gleichung für die Elemente der Matrix.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mo 23.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo!
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> > Welche Dimension hat der Teilraum des Vektorraums aller [mm](n \times n)[/mm]
> > -Matrizen der Spur Null, d.h. alle Matrizen mit
> > home tab 2 playing filter games game file:1 game:1100 node:0
> > [mm]tr A := \summe_{i=1}^{n}a_{ii} = 0[/mm] ?
> > Hallo,
> >
> > erstmal ein paar Verständnisfragen:
> >
> > Den Vektorraum der Matrizen bildet man, indem man alle
> > Spaltenvektoren der Matrizen als Baisis nimmt?
>
> Nein, indem du die Matrizen als Zahlentupel auffasst.
> Dieser Vektorraum hat die Dimension [mm]n^2[/mm].
>
> > So, jetzt zum Teilraum:
> >
> > Wenn man sich mal ein Beispiel anschaut:
> >
> > [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & -a_{11} }[/mm]
> >
> > So sieht man, dass die Dimension 2 sein muss, da das die
> > Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren ist, die für
> > alle [mm]a_{ij}[/mm] gebildet werden können...
>
> Siehe oben: die Dimension ist 4, da jede Matrix auf vier
> unabhängigen reellen Zahlen besteht.
>
> > Ich vermute, dass dann die Dimension aller Matrizen der
> > Spur Null gleich n ist?
>
> Nein. Die Spurbedingung [mm]\summe_{i=1}^{n}a_{ii} = 0[/mm] ist
> eine lineare Gleichung für die Elemente der Matrix.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Ok, müsste dann die Dimension $ [mm] n^2 [/mm] -1 $ sein?
Da ja (siehe mein anderer Post Dimension Teilram) die Dimension eines Teilraums, der aus dem Lösungsvektor einer linearen homogenen Gleichung mit n Unbekannten besteht, gleich n-1 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 24.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Welche Dimension hat der Teilraum des Vektorraums aller [mm](n \times n)[/mm]
> > > -Matrizen der Spur Null, d.h. alle Matrizen mit
> > > home tab 2 playing filter games game file:1
> game:1100 node:0
> > > [mm]tr A := \summe_{i=1}^{n}a_{ii} = 0[/mm] ?
> > > Hallo,
> > >
> > > erstmal ein paar Verständnisfragen:
> > >
> > > Den Vektorraum der Matrizen bildet man, indem man alle
> > > Spaltenvektoren der Matrizen als Baisis nimmt?
> >
> > Nein, indem du die Matrizen als Zahlentupel auffasst.
> > Dieser Vektorraum hat die Dimension [mm]n^2[/mm].
> >
> > > So, jetzt zum Teilraum:
> > >
> > > Wenn man sich mal ein Beispiel anschaut:
> > >
> > > [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & -a_{11} }[/mm]
> > >
> > > So sieht man, dass die Dimension 2 sein muss, da das die
> > > Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren ist, die für
> > > alle [mm]a_{ij}[/mm] gebildet werden können...
> >
> > Siehe oben: die Dimension ist 4, da jede Matrix auf vier
> > unabhängigen reellen Zahlen besteht.
> >
> > > Ich vermute, dass dann die Dimension aller Matrizen der
> > > Spur Null gleich n ist?
> >
> > Nein. Die Spurbedingung [mm]\summe_{i=1}^{n}a_{ii} = 0[/mm] ist
> > eine lineare Gleichung für die Elemente der Matrix.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Ok, müsste dann die Dimension [mm]n^2 -1[/mm] sein?
>
> Da ja (siehe mein anderer Post Dimension Teilram) die
> Dimension eines Teilraums, der aus dem Lösungsvektor einer
> linearen homogenen Gleichung mit n Unbekannten besteht,
> gleich n-1 ist.
Genau, eine lineare Bedingung reduziert die Dimension um 1.
Viele Grüße
Rainer
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