Dimension des Eigenraums < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 4 & 1 &-2 \\ -23 & -8 & 14 \\ -7 & -3 & 5 } [/mm] . Welchen Dimension hat dann der Eigenraum von A zum Eigenwert 1?
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So das Ergebnis ist auch 1, aber ich weiß nicht, wie man da drauf kommt. Würde mich freuen, wenn mir jemand das mal näher erklären könnte.
gruß
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Hallo Steve,
um den Eigenraum zu einem Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] zu bestimmen, musst du den [mm] $Kern(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] bestimmen
Hier also den [mm] $Kern(A-1\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm]
Es ist [mm] $A-1\cdot{}\mathbb{E}_3=\pmat{3&1&-2\\-23&-9&4\\-7&-3&4}$
[/mm]
Du musst also das LGS [mm] $\pmat{3&1&-2\\-23&-9&4\\-7&-3&4}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] lösen
Die Lösungsmenge desselben ist der gesuchte Kern.
Dessen Dimension kannst du dann direkt ablesen
Das geht am Einfachsten und Übersichtlichsten mit Matrizenkalkül
Bringe [mm] $\pmat{3&1&-2\\-23&-9&4\\-7&-3&4}$ [/mm] in Zeilenstufenform und bestimme so die Lösungsmenge des obigen LGS
Gruß
schachuzipus
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ja. so ganz komme ich noch nicht klar. und ich glaub, du hattest dich vertippt in der martix, in der ersten zeile.
egal, ich komme auf folgende ZSF:
[mm] \pmat{4&1&-2\\0&-13&30\\0&0&124} [/mm] jetzt kann man ja nur den rang ablesen, mehr nicht.
aber wie kommt man auf die 1 jetzt?
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Hallo Steve,
in der Tat - allerdings in der 2.Zeile 
Der Eintrag [mm] $a_{23}$ [/mm] ist 14 und nicht 4
Es ist [mm] A-1\cdot{}\mathbb{E}_3=\pmat{ 4 & 1 &-2 \\ -23 & -8 & 14 \\ -7 & -3 & 5 }-\pmat{ 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0&1 }=\pmat{ 3 & 1 &-2 \\ -23 & -9 & 14 \\ -7 & -3 & 4 }
[/mm]
Dein Ergebnis kann nicht stimmen!
Wenn 1 tatsächlich ein Eigenwert ist, dann MUSS es auch einen Eigenvektor geben.
Deine Lösung besteht aber nur aus dem Nullvektor, ist also KEIN Eigenvektor!! Die sind per Def. [mm] \neq \vec{0}
[/mm]
Ich hab's auf meinem Schmierblatt mit dem richtigen Eintrag 14 statt 4 gerechnet und erhalte eine Nullzeile - wie erwünscht - und damit für den [mm] Eigenraum=Kern(A-1\cdot{}\mathbb{E}_3) [/mm] die Dimension 1
Poste doch mal deine Rechnung - da muss ein Fehler drin sein aus den o.g. Gründen
Gruß
schachuzipus
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also dieses mal habe ich folgende ZSF raus, aber wieder ohne nullzeile
[mm] \pmat{3&1&-2\\0&-6&-4\\0&0&2} [/mm] man könnte zwar auch noch die letzte zeile mit 2 multiplizieren und dann zur 2. addieren, aber das ist doch nicht nötig oder, das wäre dann so
[mm] {3&1&-2\\0&-6&-4\\0&0&0} [/mm]
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Hallo Steve,
auch hier ist die einzige Lösung [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] und das ist kein Eigenvektor
Ich hab's so gerechnet:
[mm] $\pmat{3&1&-2\\-23&-9&14\\-7&-3&4}$ [/mm] erstmal 1. und 2. Zeile tauschen, damit das furchtbare Biest nach oben kommt. Das liefert
[mm] $\pmat{-23&-9&14\\3&1&-2\\-7&-3&4}$
[/mm]
Hier nun das 7-fache der 2 Zeile zum 3-fachen der 3.Zeile addieren
[mm] $\pmat{-23&-9&14\\3&1&-2\\0&-2&-2}$
[/mm]
Jetzt das 3-fache der 1.Zeile zum 23-fachen der 2.Zeile addieren
[mm] $\pmat{-23&-9&14\\0&-4&-4\\0&-2&-2}$
[/mm]
Und hier siehst du schon, dass es ne Nullzeile gibt, die Zeilen 2 und 3 sind linear abh.
Addiere die 2.Zeile zum (-2)-fachen der 3.Zeile...
Dann bekommst du einen Lösungsraum (=Kern) der Dimension 1
Gruß
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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also dieses mal habe ich folgende ZSF raus, aber wieder ohne nullzeile
[mm] \pmat{3&1&-2\\0&-6&-4\\0&0&2} [/mm] man könnte zwar auch noch die letzte zeile mit 2 multiplizieren und dann zur 2. addieren, aber das ist doch nicht nötig oder, das wäre dann so
[mm] \pmat{3&1&-2\\0&-6&-4\\0&0&0} [/mm]
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Hi,
> also dieses mal habe ich folgende ZSF raus, aber wieder
> ohne nullzeile
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> [mm]\pmat{3&1&-2\\0&-6&-4\\0&0&2}[/mm] man könnte zwar auch noch die
> letzte zeile mit 2 multiplizieren und dann zur 2. addieren,
> aber das ist doch nicht nötig oder, das wäre dann so
>
> [mm]\pmat{3&1&-2\\0&-6&-4\\0&0&0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was hast du denn da gemacht?
Es wird doch nur der Eintrag [mm] a_{23} [/mm] zu Null, die 3. Zeile bleibt doch unverändert (bzw es steht eine 4 im Eintrag [mm] a_{33}, [/mm] wenn du das [mm] \cdot{}2 [/mm] explizit aufschreibst)
Deine obere - erzwungenermaßen falsche - Matrix in ZSF hat die einzige Lösung [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Das ist aber kein Eigenvektor, du musst dich beim Umformen der Matrix in ZSF vertan haben
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
ohh jetzt sehe ich auch, das ich da scheiße gebaut habe 
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das ist jetzt komisch, ich kann deins zwar sehr gut nachvollziehen, aber irgendwie finde ich gerade in meiner rechnung den fehler nicht
liegt wohl vielleicht daran, dass ich die erste und zweite zeile gleich zu anfang nicht vertauscht habe, und das gleich so auf ZFS. aber normalerweise müsste ja meins trotzdem hinhauen, ich rechne es einfach mal nochmal.
trotzdem danke für deine mühe.
gruß
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Hi,
ja, wie bereits gesagt, wenn 1 ein EW ist, so kriegst du auch nen Eigenvektor
Du kannst es nach deinem gusto berechnen, du musst die Zeilen nicht tauschen.
Poste doch deine komplette Rechnung, das ist ja nicht sooo viel, dann finden wir schon den Fehler, denn der muss ja drin sein
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
also ich hatte das so gerechnet.
pmat{ 3 & 1 &-2 [mm] \\ [/mm] -23 & -9 & 14 [mm] \\ [/mm] -7 & -3 & 4 }
dann 23 mal die 1. zeile und 3 mal die 2. zeile, dann 7 mal die 1. zeile und 3 mal die 3. zeile, jeweils dann addiert, ergab:
pmat{ 3 & 1 &-2 [mm] \\ [/mm] 0 & -6 & -4 [mm] \\ [/mm] 0 & -2 & -2 }
so hier habe ich dann einfach -3 mal die letzte zeile und dann addiert, ergibt:
pmat{ 3 & 1 &-2 [mm] \\ [/mm] 0 & -6 & -4 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 2 }, muss ja irgendwo ein fehler drin sein.
und wo wir gerade dabei sind, wenn ich so eine matrix habe.
pmat{ 1 & 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 1 & 1 & 0 }
ist dann der eigenwert 2 oder 0.
gruß
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also ich hatte das so gerechnet.
[mm] \pmat{ 3 & 1 &-2 \\ -23 & -9 & 14 \\ -7 & -3 & 4 }
[/mm]
dann 23 mal die 1. zeile und 3 mal die 2. zeile, dann 7 mal die 1. zeile und 3 mal die 3. zeile, jeweils dann addiert, ergab:
[mm] \pmat{ 3 & 1 &-2 \\ 0 & -6 & -4 \\ 0 & -2 & -2 }
[/mm]
so hier habe ich dann einfach -3 mal die letzte zeile und dann addiert, ergibt:
[mm] \pmat{ 3 & 1 &-2 \\ 0 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 2 }, [/mm] muss ja irgendwo ein fehler drin sein.
und wo wir gerade dabei sind, wenn ich so eine matrix habe.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
ist dann der eigenwert 2 oder 0.
gruß
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wie kommst du denn auf sowas hier?
[mm] det\left(\pmat{ 1-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 \\ 1 & 1 & -\lambda }\right)=0 [/mm]
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Hi,
wie würdest du denn die Eigenwerte einer Matrix A berechnen?
Welche Definition kennst du?
Ich wette, das ist dieselbe, die ich benutzt habe....
Stichwort charakt. Polynom...
Schreib's dir mal auf...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Do 10.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
ja ok, jetzt habe ich es gelesen, wir habe damit erst gesern angefangen, deshalb kann ich das noch nicht so gut.
[mm] X_A=det(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_n)
[/mm]
so haben wirs definiert.
kannst du mir vielleicht auch noch kurz bei der aufgabe mit den eigenvektoren helfen, die ich ins forum gestellt habe, wäre echt nett.
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