Dimension des Kerns < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sie K ein Körper un f: [mm] K^5 \to K^2 [/mm] eine surjektive Abbildung. Geben Sie die Dimesion des Kerns an. |
Hallo zusammen,
hoffe Ihr hatte alle schöne Festtage.
Hab ein mit dieser Aufgabe kleine Schwierigkeiten, kenne bzgl des Kerns mit die Dimesionsformel:
dim ker f + rg f = dimV
Weiß nicht wie ich bzgl dieser Aufgabe auf die Lösung komme..??
Ich hoffe es kann mir jemand helfen!!
Des weiteren noch eine kleine Frage wieder bzgl des Kerns diesmal aber einer linearen Abb.:
Angenommen ich habe die Darstellungsmatrix (nenne sie A(f)) einer linearen Abb. geg. und soll dann die Basen des kerns und des Bildes der linearen Abb. bestimmen. Muss ich dann wie folgt vorgehen?
Weiß: Kern von f ist Lösungsmenge des LGS A(f) * x = 0
Muss ich also das LGS lösen und die vektoren des Lösungsraum ist dann die Basis des Kerns??
Und wie Berechne ich die Basen des Bildes von f ??? Da weiß ich leider so garnicht wie vorzugehen habe....
Hoffe jemand kann mir bei meinen Problemen helfen!!!!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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ahh, alles klar.
Das heißt also, ich muss um eine Basis des bildes zu bekommen, die geg. Darstellungsmatrix transponieren, dann auf Zeilenstufenform bringen und dann sind die Zeilen [mm] \not= [/mm] 0 als Vektoren geschrieben eine Basis des Bildes meiner Abb.
Lieg ich jetzt richtig??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 28.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
das ist richtig
(beim Gauß-algo aber nur Zeilenumformungen verwenden, damit du im selben Erzeugnis des Zeilenraumes bleibst !)
viele Grüße
DaMenge
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kurze Frage noch dazu:
Heißt das, dass ich nach dem Transponieren die zeielen nicht mehr vertauschen darf???Also nur mittels multiplikation einer zeile mit einem skalar und addieren eines vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, zu operieren ist??
und noch kurz zum alleresten Punkt bzgl der dim vom Kern einer Abb.
Habe mir das jetzt mal verinnerlicht mit der Dimensionsformel.
Also wäre folgende Aussage falsch oder??
Es gibt eine lineare Abb f: [mm] \IQ^5 \to \IQ^3 [/mm] sodass die Dimension des Kerns von f genau 4 ist.
Meine Antwort wäre hier nein, denn dimV = 5 und dim Im(f) = 3 mit Dimensionsformel kann doch dim Ker (f) = 2 nur sein und das ist [mm] \not= [/mm] 4 .
Lieg ich doch richtig oder??
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 28.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
> Heißt das, dass ich nach dem Transponieren die zeielen
> nicht mehr vertauschen darf???Also nur mittels
> multiplikation einer zeile mit einem skalar und addieren
> eines vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, zu
> operieren ist??
du darfst zeilen vertauschen - das steht doch auch ganz klar in deinem anderem Thread (hast du den auch wirklich gelesen ?!?) - ich zitiere mal:
Du darfst:
1. Zeilen zueinander addieren
2. Zeilen mit skalaren multiplizieren
3. Zeilen vertauschen
Du darfst nicht:
1. Spalten vertauschen
>
> Es gibt eine lineare Abb f: [mm]\IQ^5 \to \IQ^3[/mm] sodass die
> Dimension des Kerns von f genau 4 ist.
>
> Meine Antwort wäre hier nein, denn dimV = 5 und dim Im(f) =
> 3 mit Dimensionsformel kann doch dim Ker (f) = 2 nur sein
> und das ist [mm]\not=[/mm] 4 .
wieso ist das Bild jetzt plötzlich 3-dimensional ?
Wenn die Abbildung surjektiv wäre, wäre deine Argumentation richtig, aber so stimmt das nicht - es gibt lineare Abbildungen, die das erfüllen !
(erste Spalte nicht-Null und die vier anderen Spalten jeweils der nullvektor, dann ist das Bild eindimensional und deshalb der Kern dann 4-dimensional)
ach, bevor ich es vergesse : unterschiedliche Fragen nächste mal auch bitte in unterschiedliche Threads - so wird das Verlinken später einfacher und das Suchen für Leute, die ähnliche Fragen haben.
viele Grüße
DaMenge
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wie muss ich mir das vorstellen?? etwa so?:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 29.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja, das wäre ein lineare Abbildung, die alle geforderten Eigenschaften erfüllt.
(die Abbildung wird eindeutig, wenn du Basen im Urbild- und Zielraum wählst - z.B von Standardbasen ausgehst)
das Bild würde also durch den ersten Spaltenvektor aufgespannt und ist (weil dieser nicht der Nullvektor ist) eindimensional.
(die letzten vier Basisvektoren werden auf den Nullvektor abgebildet und spannen damit den Kern auf)
viele Grüße
DaMenge
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Vielen Dank DaMenge, habs verstanden  !!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:55 So 31.12.2006 | | Autor: | Spiel |
> > Es gibt eine lineare Abb f: [mm]\IQ^5 \to \IQ^3[/mm] sodass die
> > Dimension des Kerns von f genau 4 ist.
> >
> > Meine Antwort wäre hier nein, denn dimV = 5 und dim Im(f) =
> > 3 mit Dimensionsformel kann doch dim Ker (f) = 2 nur sein
> > und das ist [mm]\not=[/mm] 4 .
>
> wieso ist das Bild jetzt plötzlich 3-dimensional ?
> Wenn die Abbildung surjektiv wäre, wäre deine
> Argumentation richtig, aber so stimmt das nicht - es gibt
> lineare Abbildungen, die das erfüllen !
Hallo,
Der Satz in meinem Skript lautet:
Sei f: [mm]\f:V \to \W[/mm] eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen.Dann gilt: dimV =dim Ker f+ rg f.
dann wäre aber der Satz falsch oder nicht ganz. Also dann sollte da stehen, dass die Abbildung eine surjektive lineare Abbildung ist.
Habe ich es richtig verstanden? Oder habe ich etwas nicht gesehen?
Vielen Dank
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> Der Satz in meinem Skript lautet:
> Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen zwei
> Vektorräumen.Dann gilt: dimV =dim Ker f+ rg f.
Hallo,
der Satz in Deinem Skript ist richtig für jegliche lineare Abbildung, egal ob surjektiv, injektiv oder nichts von beidem.
Mir ist nicht ganz klar geworden, worüber Du gestolpert bist.
Vielleicht ist es das:
es ist rg f natürlich nicht immer =dim W. Das ist nur der Fall, wenn f surjektiv ist.
Und wenn f injektiv ist, hat man rg f= dim V.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 So 31.12.2006 | | Autor: | Spiel |
Das hat sich schon erledigt. Danke für die Hilfe
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