Dimension eines UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte den folgenden UVR von [mm] \IR^3:
[/mm]
[mm] U_1:= span\{\vektor{1\\ 0 \\ 2}, \vektor{0\\ 1 \\ 1}, \vektor{2\\ -1 \\ 3} \}
[/mm]
Bestimme die Dimension von [mm] U_1. [/mm] |
Hallo Leute,
also ich hab mich an die Aufgabe herangesetzt und herausgefunden, dass diese 3 Vektoren nicht linear unabhängig sind, allerdings dass sie paarweise linear unabhängig sind.
Also habe ich nur 2 unabhängige Vektoren. Jetzt muss ich doch Prüfungen ob diese beiden Vektoren überhaupt ein Erzeugenden-System von [mm] U_1 [/mm] bilden. Jedoch habe ich dann 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Um zu prüfen ob 2 Vektoren ein Erzeugenden-System bilden, muss ich doch folgendes machen:
[mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2= \vektor{x\\ y \\ z} [/mm] = x für [mm] \lambda_i \in\ \IK [/mm] und [mm] v_i [/mm] sind Vektoren, x bezeichne ich als Zielvektor, i = 1,2
Nun komme ich mittels Gleichungssystem selbstverständlich darauf, dass ich 2 Komponenten des Zielvektors x^> mittels [mm] \lambda_i [/mm] darstellen kann, aber 3. Komponente lautet dann zum Beispiel 2x + y = z.
Ich denke mein Vorgehen stimmt hier nicht so ganz oder?
Liebe Grüße,
euer Roughi
PS: Selbstverständlich: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
naja, es ist klar, dass du nicht jedes beliebige element des [mm] \IR^{3} [/mm] darstellen kannst, wenn deine 3 vektoren nicht linear unabhägig sind.
das ist aber egal, denn x muss aus [mm] span\{\vektor{1\\ 0 \\ 2}, \vektor{0\\ 1 \\ 1}, \vektor{2\\ -1 \\ 3} \} [/mm] sein. was du nun machst ist eine maximal linear unabhängige menge aus [mm] \{\vektor{1\\ 0 \\ 2}, \vektor{0\\ 1 \\ 1}, \vektor{2\\ -1 \\ 3} \} [/mm] wählen. diese sind sicherlich ein erzeugendensystem, da du alle vektoren der linearen hülle darstellen kannst, also auch den VR davon.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Fr 25.11.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Gut also sind die beiden Vektoren die ich gefunden habe (alle sind paarweise lin. unabh.) gleichzeitig erzeugend.
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Sei [mm] U_2 [/mm] folgender Untervektorraum: [mm] U_2= span\{\vektor{1\\ 2\\ 3},\vektor{2\\ 3\\ 6} }. [/mm] Bestimme nun eine Basis von [mm] U_1+U_2. [/mm] |
Nur eine kurze Frage dazu.
Muss ich nun komplett mein [mm] U_1 [/mm] addieren oder reicht es aus die von mir bestimmte Basis zu [mm] U_2 [/mm] dazu zu addieren?
Und eine weitere kurze Frage. Ich hab dann 3 Gleichungen mit mehr als 3 Unbekannten. Wie löse ich diese?
|
|
|
| |
|
Hallo RoughNeck,
> Sei [mm]U_2[/mm] folgender Untervektorraum: [mm]U_2= span\{\vektor{1\\ 2\\ 3},\vektor{2\\ 3\\ 6} }.[/mm]
> Bestimme nun eine Basis von [mm]U_1+U_2.[/mm]
> Nur eine kurze Frage dazu.
> Muss ich nun komplett mein [mm]U_1[/mm] addieren oder reicht es aus
> die von mir bestimmte Basis zu [mm]U_2[/mm] dazu zu addieren?
>
Letzteres reicht aus.
> Und eine weitere kurze Frage. Ich hab dann 3 Gleichungen
> mit mehr als 3 Unbekannten. Wie löse ich diese?
Genau so, als wenn Du 3 Gleichungen und 3 Unbekannte hast.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
