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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Fr 04.05.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Sei A ein n-dimensionaler affiner Raum über einem Körper K (n [mm] \in [/mm] IN)
Zeigen Sie:
a) Seien [mm] \IB [/mm] := (B,U) und [mm] \IC [/mm] := (C,W)
aff. K-Unterräume von A
Wenn dim [mm] \IB [/mm] + dim [mm] \IC \ge [/mm] n und U [mm] \cap [/mm] W = 0, so schneiden sich [mm] \IB [/mm] und [mm] \IC [/mm] in genau einem Punkt
b) Ist die Aussage von a) ohne die Voraussetzung "U [mm] \cap [/mm] W = 0" richtig?
c) Wenn dim A = 2, so schneiden sich zwei nicht parallele Geraden von A in genau einem Punkt. |
a) Ich weiß, dass ich in irgendeiner Form den Dimensionssatz anwenden müsste, finde aber keinen Ansatz. Bedeutet "U [mm] \cap [/mm] W = 0" das nur die Basisvektoren in diesem Schnitt zu finden sind, also folglich rang U+W= dim A
Oder was ist mit "U [mm] \cap [/mm] W = 0" ansonsten gemeint?
Daraus müsste sich dann b) eigentlich ergeben - Bzw. wäre da ein Gegenbeispiel zu finden - nur wie?
c) Dann geht es auch noch um die beiden Geraden aus [mm] \IA [/mm] (- die sich ja mit U+W erzeugen lassen müssten.)
Wie zeige ich denn, dass die Geraden nicht linear abhängig sind? Folgt das nicht automatisch aus dim A = 2. Denn das ist doch geleichbedeutend mit rang U+W=2 und daraus folgt, dass die beiden Geraden lin unabh. sein müssen, oder?
Vielen Dank und freundliche Grüße
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> Sei A ein n-dimensionaler affiner Raum über einem Körper K
> (n [mm]\in[/mm] IN)
> Zeigen Sie:
> a) Seien [mm]\IB[/mm] := (B,U) und [mm]\IC[/mm] := (C,W)
> aff. K-Unterräume von A
> Wenn dim [mm]\IB[/mm] + dim [mm]\IC \ge[/mm] n und U [mm]\cap[/mm] W = 0, so schneiden
> sich [mm]\IB[/mm] und [mm]\IC[/mm] in genau einem Punkt
> b) Ist die Aussage von a) ohne die Voraussetzung "U [mm]\cap[/mm] W
> = 0" richtig?
> c) Wenn dim A = 2, so schneiden sich zwei nicht parallele
> Geraden von A in genau einem Punkt.
Hallo,
ich bin mit der Materie nicht so ganz vertraut, will aber trotzdem versuchen, Dir ein paar Hinweise zu geben.
> a)
> Bedeutet "U [mm]\cap[/mm] W = 0" das nur die Basisvektoren in diesem
> Schnitt zu finden sind,
Nein. Das bedeutet, daß der Schnitt dieser beiden (Unter-)Vektorräume (des zu A gehörenden Vektorraumes V) nur den Nullvektor enthält.
> also folglich rang U+W= dim A
Moment. U ist ein Vektorraum. Was soll der Rang sein?
Ich will Dir mal ein anschauliches Beispiel geben.
Nehmen wir als affinen Raum A unseren "Anschauungsraum", den [mm] \IR^3.
[/mm]
[mm] U:=<\vektor{1 \\ 1\\1}> [/mm] und [mm] V:=<\vektor{1 \\ 1\\0},\vektor{1 \\ 0\\0}>
[/mm]
Sind Untervektorräume und ihr Schnitt [mm] ist=\{\vektor{1 \\ 1\\0}\}.
[/mm]
dimU+dimV=3, also [mm] =dim\IR^3.
[/mm]
Seien nun B und C zwei Punkte aus [mm] \IR^3.
[/mm]
Die Behauptung sagt:
die durch [mm] B+<\vektor{1 \\ 1\\1}>=B+\lambda\vektor{1 \\ 1\\1} [/mm] gegebene Gerade
und die durch
[mm] C+<\vektor{1 \\ 1\\0},\vektor{1 \\ 0\\0}>=C+\\mu\vektor{1 \\ 1\\0}+\nu\vektor{1 \\ 0\\0}> [/mm] gegebene Ebene
schneiden sich in einem Punkt.
> Daraus müsste sich dann b) eigentlich ergeben - Bzw. wäre
> da ein Gegenbeispiel zu finden - nur wie?
Anschauungsraum, zwei parallele Ebenen.
> c)
> Wie zeige ich denn, dass die Geraden nicht linear abhängig
> sind? Folgt das nicht automatisch aus dim A = 2.
Wenn A die Dimension 2 hat, hat der zugrunde liegende VR die Dimension 2.
Die Geraden sind affine Unterraume (B,U) und (C,W) der Dimension 1.
U und W haben die Dimension 1. Nun gibt es nur zwei Möglichkeiten U=W,
dann sind die Geraden parallel, oder [mm] U\cap [/mm] W=0, dann sind die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo Angela
Erstmal vielen Dank!
Verstehe ich das richtig, dass wenn die Schnittmenge beider Untervektorräume der Nullvektor ist, sie dann linear unabhängig sind, also sich genau an der Stello (0,0,0,...) schneiden. Bzw. kein Vektor aus U einen Vektor aus V darstellen könnte?
Wie zeige ich dann aber, dass sie nicht parallel sind?
Kann ich zum Beweis von b) die Dimensionsformel
dim (<U,V>) = dim (U)+dim (V) - dim [mm] (U\cap [/mm] V) benutzen?
Da ja dimU+dimV = dimA muss dim [mm] (U\cap [/mm] V)=irgendetwas sein?
Grüße
Matthias
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> Erstmal vielen Dank!
> Verstehe ich das richtig, dass wenn die Schnittmenge
> beider Untervektorräume der Nullvektor ist, sie [...]sich genau an der Stello (0,0,0,...)
> schneiden. Bzw. kein Vektor aus U einen Vektor aus V
> darstellen könnte?
Ja. So ist das.
> Wie zeige ich dann aber, dass sie nicht parallel sind?
Was meinst Du hier mit "sie"?
Die Vektoren?
Ein Vektor aus U und ein Vektor aus W können nicht parallel sein, aus oben festgestelltem Grund.
Oder meinst Du mit "sie" U und W???
U und W sind (Unter-)Vektorräume. Die sind niemals "parallel" sondern haben immer mindestens einen gemeinsamen Punkt.
> Kann ich zum Beweis von b) die Dimensionsformel
> dim (<U,V>) = dim (U)+dim (V) - dim [mm](U\cap[/mm] V) benutzen?
Mir ist nicht klar, wofür Du gebrauchen kannst - allerdings habe ich den Beweis nicht durchgeführt.
Wenn ich ihn durchführen wollte, würde ich beginnen, indem ich davon ausgehen würde, daß es unter den ggf. Voraussetzungen zwei Schnittpunkte gibt. Dies würde ich versuchen, zum Widerspruch zu führen.
Gedanklich würde ich mich von der Anschauung leiten lassen.
(Möglicherweise hilft es, wenn Du Dich - ganz im Geheimen - an dem entlanghangelst, was man in der Schule tut: eine Ebene und eine Gerade schneiden.)
dim $ [mm] \IB [/mm] $ + dim $ [mm] \IC \ge [/mm] $ n und U $ [mm] \cap [/mm] $ W = 0, das bedeutet ja, daß
- ah! -
hier kannst Du
dim (<U,W>) = dim (U)+dim (W) - dim [mm](U\cap[/mm] W) verwenden!
dim (<U,W>) = dim (U)+dim (W) - dim [mm](U\cap[/mm] V)=dim (U)+dim [mm] (W)\ge [/mm] n
==> dim (<U,W>) =n
Also ist <U,W>=V , d.h. insgesamt V=U [mm] \oplus [/mm] W.
Vielleicht kommst Du so ja weiter.
Falls Du mehr Hilfe benötigst, wäre es - jedenfalls für solche wie mich - wichtig zu wissen, wie Ihr den affinen Raum im einzelnen definiert habt.
Alles, was ich bisher gesagt habe, entspringt eher meinem nebulös-intuitiven Hausfrauenverstand...
Ich stelle mir die affinen Räume immer so vor: ein Ortsvektor, an welchen ein Vektorraum geheftet ist. Wie die Geraden und Ebenen im Raum, welche durch den Nullpunkt gehen (dann sind sie sogar Vektorräume) oder eben nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo Angela
Hier die Def....
Nun, ein affiner Raum A ist bei uns wie folgt definiert: Ein geordnetes Paar (A,V) mit einer nicht leeren Menge A uns einem K Vektorraum, dessen zu Grunde liegende abelsche Gruppe einfach transitiv auf A operiert.
Das deckt sich mit Deiner Beschreibung.
dim A = rang von V.
Es gitb dann ein v [mm] \in [/mm] V mit der Eigenschaft v+a=b v wird auch mit [mm] \vec{ab} [/mm] bezeichnet, so dass gilt:
[mm] \vec{ab} [/mm] + a = b
[mm] \vec{ab} [/mm] vermute ich, ist der Ortsvektor, wenn a der 0-Punkt ist.
Nach "Hausfrauenmathematik" klingt das übrigens nicht, da steckt wohl mehr dahinter... 
Danke und Grüße
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 So 06.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
siehe weiter unten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Vielleicht weiß jemand Rat?
Ich habe mich inzwischen etwas festgefahren. So schwierig scheint das doch eigentlich gar nicht, nur habe ich kein Idee, meine Gedanken formal aufzuschreiben.
1. Die Basen von U und V haben als Schnitt den Nullvektor, sind also linear unabhängig. Da ist eigentlich dasselbe wie dimV+dimU $ [mm] \ge [/mm] $ n. (Beide Basen ergänzen ihre dim zu n). Oder ist das verkehrt gedacht?
2. Sie schneiden sich einem Punkt, da sie linear unabhängig sind, also keine gemeinsamen Elemente haben, als den Nullvektor. Also hat das entsprechende LGS der Erzeugnisse eine Lösung, diese ist dann der Schnittpunkt. Das müsste doch so stimmen. Dann wäre rang dieses LGS=n.
3. Wäre der Schnitt ungleich Null, so hätten sie noch ein gemeinsames Element außer dem Schnittpunkt und dann wäre die dim vermutlich n+ n, also diesem(n) Basiselement(en). Wie finde ich da das Gegenbeispiel?
Ich habe versucht, ein Basiselement aus U und drei weitere Elemente eines EZS aus V zu nehmen, n mit 3 anzunehmen, damit der Schnitt [mm] \not= [/mm] 0 ist und stelle fest, dass dann die dim (U [mm] \cap [/mm] V) um 1 höher ist, als zuvor.
Bringt mich das weiter?
4.ich setze einfach dim = 2 und habe ja dann ein Ebene die von zwei Geraden aufgespannt wird. Die Basisvektoren sind nur dann lin. unabhängig, wenn dim(U+V) = dim [mm] \IA
[/mm]
Ich wäre Euch dankbar, wenn Ihr mir Hinweise fürs Formalisieren geben könntet.
Grüße
Matthias
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Hallo,
irgendwie wird dieser Thread unübersichtlich...
zu a)
> 1. Die Basen von U und W haben als Schnitt den Nullvektor,
> sind also linear unabhängig.
Stimmt.
> Da ist eigentlich dasselbe wie
> dimW+dimU [mm]\ge[/mm] n.
Das stimmt so nicht. Nimm im [mm] \IR^3 [/mm] zwei nichtparallele Geraden durch den Ursprung. Ihr Schnitt =0, doch die Summe ihrer Dimensionen =2.
>
> 2. Sie schneiden sich einem Punkt, da sie linear unabhängig
> sind, also keine gemeinsamen Elemente haben, als den
> Nullvektor.
Das soll aber erst gezeigt werden.
>Also hat das entsprechende LGS der Erzeugnisse
> eine Lösung, diese ist dann der Schnittpunkt.
Darauf läuft es schließlich hinaus.
Ich würde den Beweis so angehen, wobei ich natürlich Eure Schreibweisen nicht kenne.
Sei [mm] (u_1,...,u_k) [/mm] Basis von U und [mm] (w_1,...,w_l) [/mm] Basis von W.
Da der Schnitt nur aus dem Nullvektor besteht, ist [mm] (u_1,...,u_k, w_1,...,w_l) [/mm] linear unabhängig.
Also ist dim <U,W>=k+l.
Da <U,W> ein Unterraum von V ist (V der VR, der zu A gehört), ist k+l [mm] \le [/mm] n
Zusammen mit
> dimW+dimU [mm]\ge[/mm] n.
ergibt sich dim <U,W>=n, also <U,W>=V, und [mm] (u_1,...,u_k, w_1,...,w_l) [/mm] ist eine Basis von V.
Sei x ein gemeinsamer Punkt von $ [mm] \IB [/mm] $ := (B,U) und $ [mm] \IC [/mm] $ := (C,W).
Dann läßt sich x schreiben als [mm] x=B+\summe b_iu_i [/mm] und [mm] x=C+\summe c_iw_i [/mm] .
==> [mm] \summe b_iu_i [/mm] - [mm] \summe c_iw_i [/mm] = C - B.
C, B [mm] \in [/mm] A.
Also (nachschauen oder zeigen! ) ist C - B [mm] \in [/mm] V.
(Dies ist ein wichtiger Punkt im Beweis. Ohne C - B [mm] \in [/mm] V würd's nicht funktionieren.)
Daher hat C-B eine eindeutige Darstellung
[mm] C-B=\summe r_iu_i [/mm] + [mm] \summe s_iw_i.
[/mm]
==> [mm] \summe r_iu_i [/mm] + [mm] \summe s_iw_i =\summe b_iu_i [/mm] - [mm] \summe c_iw_i
[/mm]
(Dies hier ist das LGS, von welchem Du oben sprachst.)
==> [mm] b_i=r_i [/mm] und [mm] c_i=-s_i,
[/mm]
Also schneiden sich die affinen Unterräume in genau einem Punkt, nämlich
[mm] x=B+\summe r_iu_i =C-\summe s_iw_i.
[/mm]
zu b)
>
> 3. Wäre der Schnitt ungleich Null, so hätten sie noch ein
> gemeinsames Element außer dem Schnittpunkt
außer dem Nullpunkt.
> und dann wäre
> die dim vermutlich n+ n, also diesem(n) Basiselement(en).
Dem folge ich nicht.
> Wie finde ich da das Gegenbeispiel?
Nimm den [mm] \IR^3 [/mm] und hierin (ich hatte es irgendwann schonmal geschrieben)
zwei parallele Ebenen. Also einen zweidimensionalen UR U von V, und zwei Punkte B,C.
Du kannst ein ganz konkretes Beispiel nehmen und zeigen, daß der Schnitt
leer ist, sofern nicht B [mm] \in [/mm] C+U.
Oder Du machst es Dir noch einfacher, nimmst den [mm] \IR^2 [/mm] und zwei parallele Geraden.
zu c.
>
> 4.ich setze einfach dim = 2 und habe ja dann ein Ebene
Wie habt ihr "parallel" definiert?
Ich verwende folgendes: Die affinen Räume [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] heißen parallel, wenn einer der zugehörigen Vektorräume Unterraum des anderen ist.
Man hat hier also zwei Geraden B+<u> und C+<w> gegeben.
Da sie nach Voraussetzung nichtparallel sind, ist <u> [mm] \cap [/mm] <w> = 0.
Und nun kann man direkt a) anwenden.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:12 So 06.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo Angela
Vielen Dank
Wir haben uns heute zusammen hingesetzt. Zu Anfang haben wir selbst noch etwas rumprobiert, sind aber nicht dahinter gekommen, wie wir verallgemeinern.
Ein Blick in Deinen letzten Beitrag war dann eine große Hilfe.
Wir haben noch gezeigt, dass C-W in V liegt, einfach dadurch, dass wir mit Elementen aus C und W eine Element v erzeugen können (a1-a2)=v (nach Def. affiner Raum)
und damit hatten wir die Eindeutigkeit (genau ein) von x (dem Schnittpunkt bestätigt).
Liebe Grüße
Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Sa 05.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Letztes Mal waren die Voraussetzungen an K noch etwas genauer!
*****************
Folgendes ist falsch:
*****************
Für a) gibt es ein Gegenbeispiel, wenn beispielsweise K={0,1}:
Nimm die Geraden G durch die beiden Punkte [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\1}$, [/mm] sowie
die Gerade H durch die beiden Punkte [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\1}$.
[/mm]
Dies ist dann ein Gegenbeispiel für n=2. (Das liegt übrigens daran, dass hier jede Gerade nur aus genau zwei verschiedenen Punkten besteht.)
Bei der vorherigen Aufgabe wurde dieser Sonderfall durch #K > 2 ausgeschlossen.
Wenn es nur um Punkte auf nem Übungszettel geht, ist also die Angabe des Gegenbeispiels bestimmt ausreichend.
****************************************************
Sorry !
Fehler:
Die Unterräume zu den beiden angegeben Gerade sind identisch.
****************************************************
************************
Der Rest ist okay( denke ich):
************************
Zu b) Konstruiere Dir eine einfaches Gegenbeispiel!
Zu c) Hier solltest Du a) anwenden und zwar auf die affinen Unterräume die durch die beiden nicht parallelen Geraden erzeugt werden (das sind übrigens jeweils die beiden Geraden ...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Sa 05.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Obiges Gegenbeispiel von mir zu a) ist falsch.
(Die zugehörigen Untervektorräume zu den affinen Geraden sind identisch ...
und damit ist die zweite Bedingung nicht erfüllt)
Das liegt übrigens auch daran, dass der Beweis zu b) glatt durchgeht und keine Fallunterscheigdung der Art [mm] char(K)$\not=2$ [/mm] benötigt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo
Vielen Dank für die Mühe.
Letztes Mal waren die Voraussetzungen an K noch etwas genauer!
>>Ich weiß hier nicht genau, worau Du Dich beziehst?
>
>
> *****************
> Folgendes ist falsch:
> *****************
> > Was genau ist falsch? Da verstehe ich nicht, was Du meinst.
> Für a) gibt es ein Gegenbeispiel, wenn beispielsweise
> K={0,1}:
>
> Nimm die Geraden G durch die beiden Punkte [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
> und [mm]\vektor{1\\1}[/mm], sowie
> die Gerade H durch die beiden Punkte [mm]\vektor{1\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0\\1}[/mm].
>
> Dies ist dann ein Gegenbeispiel für n=2.
>> n ist aber gesetzt [mm] \ge [/mm] 1, oder ist das nicht gemeint?
(Das liegt übrigens daran, dass hier jede Gerade nur aus genau zwei
> verschiedenen Punkten besteht.)
> > und wenn sie übereinander liegen? Warte, ich versuchs, dann wäre sid linear abhängig und somit wäre die Voraussetzung dimU + dimV = dimA nicht erfüllt
> Bei der vorherigen Aufgabe wurde dieser Sonderfall durch #K
> > 2 ausgeschlossen.
>
> Wenn es nur um Punkte auf nem Übungszettel geht, ist also
> die Angabe des Gegenbeispiels bestimmt ausreichend.
>
> ****************************************************
> Sorry !
>
> Fehler:
> Die Unterräume zu den beiden angegeben Gerade sind
> identisch.
> ****************************************************
>
> ************************
> Der Rest ist okay( denke ich):
> ************************
> > Welcher Rest ist hier gemeint?
> Zu b) Konstruiere Dir eine einfaches Gegenbeispiel!
Da ist das Poblem, wie ich es aufschreibe... Vielliecht so:
Sei U [mm] \cap [/mm] W [mm] \not= [/mm] 0 dann ist dim U+ dimW < n,
was aber ausgeshlossen war.
Gegenbeispiel:
U= [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm], V= [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm]
ist U [mm] \cap [/mm] W [mm] \not= [/mm] 0, U+W sind folglich linear abhängig, also wäre dim U+V = 1 , da aber U+V=2 gelten muss, denn das besagt der Dimensionssatz, muss U [mm] \cap [/mm] W [mm] \not= [/mm] 0.
Geht das?
>
> Zu c) Hier solltest Du a) anwenden und zwar auf die affinen
> Unterräume die durch die beiden nicht parallelen Geraden
> erzeugt werden (das sind übrigens jeweils die beiden
> Geraden ...)
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:42 So 06.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> Hallo
> Vielen Dank für die Mühe.
> Letztes Mal waren die Voraussetzungen an K noch etwas
> genauer!
> >>Ich weiß hier nicht genau, worau Du Dich beziehst?
Unter Deinem Nickname habe ich eine Frage gesehen, bzgl. einer Menge mit der Eigenschaft:
Gehört zu zwei Punkten der Menge auch schon die ganze (affine) Gerade zur Menge, so ist die Menge ein affiner Unterraum.
> > ************************
> > Der Rest ist okay( denke ich):
> > ************************
> > > Welcher Rest ist hier gemeint?
Naja, dieser kümmerliche Rest halt:
> > Zu b) Konstruiere Dir eine einfaches Gegenbeispiel!
> > Zu c) Hier solltest Du a) anwenden und zwar auf die affinen
> > Unterräume die durch die beiden nicht parallelen Geraden
> > erzeugt werden (das sind übrigens jeweils die beiden
> > Geraden ...)
Du kannst z.B. sowohl für B als auch C jeweils A nehmen. Dann gilt:
1) dim B + dim c =2n > n
2) B [mm] $\cap$ [/mm] C = A [mm] \not= [/mm] 0
3) B und C schneiden sich in allen Punkten von A
> > Zu c) Hier solltest Du a) anwenden und zwar auf die affinen
> > Unterräume die durch die beiden nicht parallelen Geraden
> > erzeugt werden (das sind übrigens jeweils die beiden
> > Geraden ...)
Zu c)
Gilt dim A = 2 und Du nimmst zwei nicht parallele Geraden G und H in A, so gilt:
1) Sowohl G als auch H sind affine Unterräume von A
2) dim G =1 = dim H
3) dim G + dim H = 2 [mm] $\ge$ [/mm] 2 = dim A
4) G und H nicht parallel: die zugehörigen Untervektorräume schneiden sich im Nullpunkt. [Das könntest du ja mal beweisen!]
D.h. alle Voraussetzungen von a) sind erfüllt:
Damit schneiden sich die Geraden G und H in genau einen Punkt.
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