Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mo 20.05.2013 | | Autor: | EGF |
| Aufgabe | 20a+24b=484
a,b aus den natürlichen Zahlen |
Hallo,
ich probiere nun seit fast vier Stunden und komme einfach nicht auf eine Lösung.
Bestimmen des ggT(20,24):
24 = 1* 20 + 4
20 = 5 * 4 + 0
Wir stellen fest, der ggT(20,4) = 4. Wir dürfen die Gleichung dementsprechend kürzen und erhalten:
5a + 6b = 121
Wegen ggT(5,6)=1 können wir erneut den euklidischen Algorithmus und seine Umkehrung verwenden und die Gleichung 5a‘ + 6 b‘ = 1 lösen. Wir erhalten 1 = 1*6 – 1*5 Da wir aber die Gleichung 121 erfüllen sollen, müssen wir mit 121 multiplizieren und erhalten
121 = 6 * 121– 5* 121
Mit a‘ = -121 und b‘ = 121 haben wir eine spezielle Lösung. Daher ist [mm] a_0=121*-121 [/mm] = -14641 und [mm] b_0= [/mm] 121*121 =14641 eine spezielle Lösung von 5a‘+6b‘=121. Nun können wir die allgemeine Lösung betrachten:
Wir wenden Formel an:
a= a0 - [mm] \bruch{6}{(5,6)} [/mm] *t = -14641+6t
a= a0 + [mm] \bruch{5}{(5,6)} [/mm] *t = 14641+5t
Mein Problem ist nun, dass ich kein t finde, für das die Gleichung stimmt. Ich brauch ja positive Zahlen, die die Gleichung 20a+24b= 484 erfüllen. Ich finde den Fehler einfach nicht..
Vielen Dank im voraus! lg EGF
DIe Frage befindet sich nur hier im Forum.
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moin,
dein Problem hier ist, dass du nur positive Lösungen finden sollst.
Willst du alle ganzzahligen Lösungen finden, ist dein Weg schon sehr gut, für positive Zahlen allerdings nicht sonderlich zielführend - wie du ja schon gesehen hast.^^
Nehmen wir die Gleichung
$5a + 6b = 121 = [mm] 11^2$
[/mm]
und gucken mal, wo unsere $a,b$ liegen können:
Da $a,b [mm] \in \IN$, [/mm] giltsicher [mm] $a,b\geq [/mm] 1$. Nehmen wir $a=1$ an, so muss $6b = 116$ und somit $b<20$ gelten.
Analog erhalten wir die Grenzen für $a$, sodass wir insgesamt
[mm] $1\leq [/mm] a [mm] \leq [/mm] 23$ und $1 [mm] \leq [/mm] b [mm] \leq [/mm] 19$ erhalten.
Nun könnte man diese Paare alle durchprobieren und würde damit alle Lösungen erhalten.
Da das wahrscheinlich nicht ganz deine Aufgabe ist überlegen wir mal, wie wir ganz viele dieser Möglichkeiten ausschließen können.
Es muss $5a+6b [mm] \equiv [/mm] 0$ (mod $11)$ gelten.
Damit erhalten wir $5a [mm] \equiv [/mm] -6b [mm] \equiv [/mm] 5b$ und daraus $a [mm] \equiv [/mm] b$ (mod $11$).
Damit haben wir die Möglichkeiten schon drastisch eingeschränkt.
Ein paar weitere Betrachtungen modulo geeigneten Zahlen (hier kommen ja eigentlich nur 3 in Frage^^) liefert dir dann alle Lösungen.
lg
Schadow
edit: Vorzeichen... *g*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mo 20.05.2013 | | Autor: | EGF |
Super vielen, vielen Dank!
Einen schönen Abend noch!
lg =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 20.05.2013 | | Autor: | EGF |
Nachdem ich nun noch einmal alles durchgegangen bin habe ich doch noch eine Frage. Bis zu diesem Punkt leuchtet mir alles ein:
5a [mm] \equiv [/mm] -6b [mm] \equiv [/mm] 5b
Wieso ist -6b [mm] \equiv [/mm] 5b? Ich glaub ich steh auf dem Schlauch .. Wenn wir beides mod 11 rechnen, sind da nicht nur 9 dazwischen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mo 20.05.2013 | | Autor: | EGF |
Schon gut.. erledigt.. ich gehe mich verbuddeln..
Hab nun alles. Danke nochmal =)
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Hallo EGF,
> Nachdem ich nun noch einmal alles durchgegangen bin habe
> ich doch noch eine Frage. Bis zu diesem Punkt leuchtet mir
> alles ein:
>
> 5a [mm]\equiv[/mm] -6b [mm]\equiv[/mm] 5b
>
> Wieso ist -6b [mm]\equiv[/mm] 5b? Ich glaub ich steh auf dem
> Schlauch .. Wenn wir beides mod 11 rechnen, sind da nicht
> nur 9 dazwischen?
Es ist -6+11=5, also auch [mm] -6\equiv 5\mod{11}.
[/mm]
Übrigens gibt es 4 positive Lösungen für Deine diophantische Gleichung. Eine ist a=23, b=1, und die andern solltest Du dann praktisch aufsagen können.
Grüße
reverend
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