Dirac-Delta < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Do 19.05.2016 | | Autor: | Paivren |
Tag zusammen,
wie kann man die folgende Eigenschaft der Dirac-Delta-"Funktion" beweisen?
[mm] \delta(c*x)=\bruch{1}{|c|}\delta(x) [/mm] mit c [mm] \in\IC.
[/mm]
Es ist doch [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta(c*x) dx}=f(0), [/mm] denn cx=0 für x=0.
Und das ist gleich [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta(x) dx}
[/mm]
Gruß
Paivren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Fr 20.05.2016 | | Autor: | hippias |
Mir fehlt solides Hintergrundwissen über die [mm] $\delta$ [/mm] Funktion, aber da das Ergebnis bekannt ist, kann ich sagen, dass die Substitution $z= cx$ durchgeführt wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 26.05.2016 | | Autor: | Paivren |
Ok, nur sehe ich nicht, warum die Substitution nötig ist. Was ist falsch mit meiner Argumentation?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Do 26.05.2016 | | Autor: | hippias |
Ich kann Dir keine Antwort geben, da es mir am Hintergrundwissen mangelt. Aber Du könntest Definitionen etc. liefern: vielleicht ergibt sich dann etwas.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Fr 27.05.2016 | | Autor: | chrisno |
DU hast zu Recht Funktion in Anführungsstriche gesetzt. Es ist eben keine Funktion. Es gibt Schreibweisen für die Deltafunktion in Form eines Grenzwertes einer Folge von Funktionen. Also schreibst DU das Integral mit einer dieser Funktionen hin. Um das cx in x zu verwandeln, musst Du, wie hippias geschrieben hat, substituieren. Der Grenzwert wird erst danach betrachtet.
> Ok, nur sehe ich nicht, warum die Substitution nötig ist.
> Was ist falsch mit meiner Argumentation?
Um die Details zu verstehen, musst Du richtig in diese Materie einsteigen. Ansonsten ist es günstiger, die Kochrezepte nachzuvollziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mi 06.07.2016 | | Autor: | Paivren |
Habe es mal versucht, sollte so gehen:
[mm] \delta [/mm] (x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{n}{\pi*(x^{2}+n^{2})}, [/mm] n>0.
--> [mm] \delta [/mm] (c*x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{n}{\pi*(c^{2}x^{2}+n^{2})}= \bruch{1}{c^{2}} \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{n}{\pi*(x^{2}+\bruch{n^{2}}{c^{2}})}
[/mm]
Subst: [mm] u=\bruch{n}{c} [/mm] --> n=c*u
[mm] -->\bruch{1}{|c|} \limes_{u\rightarrow\ 0} \bruch{u}{\pi*(x^{2}+u^{2})}
[/mm]
Wobei der Betrag sich für negative c ergibt:
c<0 -> u<0. Kürzt man das eine c, bleibt ein c im Nenner übrig. Da im Zähler von [mm] \bruch{u}{\pi*(x^{2}+u^{2})} [/mm] eine positive Zahl stehen muss (sonst kommt im Limes nicht die Delta-Distribution heraus), kürzt man durch -1, weshalb das c zu -c wird. Ein allgemeines c bekommt also im Nenner die Betragsstriche.
Was meint ihr?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Do 07.07.2016 | | Autor: | hippias |
Mit dieser Definition hast Du die Behauptung sehr schön bewiesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Do 07.07.2016 | | Autor: | Paivren |
Dann danke euch beiden für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Do 07.07.2016 | | Autor: | chrisno |
Die allgemeine Behauptung hast Du nicht bewiesen. DU hast die Regel nur für eine Beispielfunktion gezeigt. Das sollte in diesem Zusammenhang aber reichen, weil es klar macht, dass irgendwann immer diese Substitution fällig ist.
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