Dirac-Kamm zur Abtastung < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mal eine Verständisfrage zur Dirac-Kamm-Distribution.
Laut wikipedia (![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Distribution_%28Mathematik%29#Dirac-Kamm) ist die Dirac-Kamm-Distribution [mm]\Delta_T[/mm] so definiert:
[mm]\Delta_T(\phi) \colon= \sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT)[/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann bilden Distributionen eine Funktion auf eine reelle (komplexe) Zahl ab. Das bedeutet, wenn ich die Kamm-Distribution auf eine Funktion anwende, ist das Ergebnis die Summe aller Funktionswerte im Abstand T. Oder?
Die Abtastung mit der Kamm-Distribution wird ja immer als Multiplikation aufgeschrieben ([mm]s(t)[/mm] sei die abzutastende und [mm]s_a(t)[/mm] die abgetastete Funktion):
[mm]s_a(t)=s(t)\cdot\Delta_T(\phi) [/mm]
Das heißt es wird eine Funktion mit einer Distribution multipliziert, das Ergebnis müsste wieder eine Distribution sein. Also eine Abbildung einer Testfunktion auf eine Zahl. Und an der Stelle verstehe ich das nicht. Was ist denn die Testfunktion bei der Abtastung? Und wie kann das Ergebnis nur eine Zahl sein? Ich hätte mir als Ergebnis eher sowas wie eine Funktion vorgestellt, die halt überall 0 ist und an den Abtaststellen die Werte der abgetasteten Funktion annimmt.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, das zu verstehen.
Vielen Dank schonmal,
Paul
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Fr 04.03.2011 | | Autor: | red-m |
Hallo Paul,
ich glaube, ich stolpere auch immer über diese uneindeutigen Bezeichnungen. So wie es sich mir darstellt, ist ein Dirac-Impuls (und auch der Dirac-Kamm) nicht die Distribution im mathematischen Sinne, sondern lediglich die, die Distribution erzeugende "Funktion". Schließlich ist, wenn ich das richtig mitbekommen habe, der Dirac-Impuls für alle [mm] x \in \IR [/mm] definiert. Nur das er eben an der Stelle 0 den Wert unendlich annimmt. Eine Distribution ist aber eigentlich ein stetiges lineares Funktional, müsste also eine Funktion auf eine Zahl abbilden. Bei Anwendung der Dirac-Distribution(!) auf eine Testfunktion kommt aber tatsächlich nur der Funktionswert der Testfunktion an der Stelle 0 heraus. Das verstehe ich soweit. Wie man jetzt mit dieser Erkenntnis aber die Abtastung mit dem Dirac-Kamm mathematisch sauber formuliert und wie man dies letztlich interpretieren muss, ist mir auch nicht klar.
Vielleicht hilft uns ja jemand weiter. 
Viele Grüße
red-m
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 04.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich weiss nicht genau was dein Problem ist, da ich denke, dass du das ganz gut erfasst hast.
> Wenn
> ich das richtig verstanden habe, dann bilden Distributionen
> eine Funktion auf eine reelle (komplexe) Zahl ab. Das
> bedeutet, wenn ich die Kamm-Distribution auf eine Funktion
> anwende, ist das Ergebnis die Summe aller Funktionswerte im
> Abstand T. Oder?
Ja. Also nicht die Summe in dem Sinne, dass die Zahlen aufaddiert werden. Es entsteht lediglich eine Neue Funktion, welche überall gleich Null ist ausser an den Stellen n*T.
>
> Die Abtastung mit der Kamm-Distribution wird ja immer als
> Multiplikation aufgeschrieben ([mm]s(t)[/mm] sei die abzutastende
> und [mm]s_a(t)[/mm] die abgetastete Funktion):
> [mm]s_a(t)=s(t)\cdot\Delta_T(\phi)[/mm]
> Das heißt es wird eine Funktion mit einer Distribution
> multipliziert, das Ergebnis müsste wieder eine
> Distribution sein. Also eine Abbildung einer Testfunktion
> auf eine Zahl. Und an der Stelle verstehe ich das nicht.
> Was ist denn die Testfunktion bei der Abtastung?
Irgendeine Funktion hald. Ein Eingangssignal.
Und wie
> kann das Ergebnis nur eine Zahl sein? Ich hätte mir als
> Ergebnis eher sowas wie eine Funktion vorgestellt, die halt
> überall 0 ist und an den Abtaststellen die Werte der
> abgetasteten Funktion annimmt.
Ja die Distribution multipliziert mit der Funktion ergibt eine neue Funktion. Doch betrachtest du quasi die Abbildung bzw. das Integral der Distribution multipliziert mit der Funktion, erhälst du eine Zahl.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen, das zu verstehen.
> Vielen Dank schonmal,
Gruss
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Hallo,
Danke für Deine Antwort! Verstanden habe ich es aber leider noch nicht :(
> Ja. Also nicht die Summe in dem Sinne, dass die Zahlen
> aufaddiert werden. Es entsteht lediglich eine Neue
> Funktion, welche überall gleich Null ist ausser an den
> Stellen n*T.
Genau das sehe ich hier leider nicht. Kannst Du das bitte erklären?
[mm] $\Delta_T(\phi) \colon= \sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT)$
[/mm]
Da steht doch einfach nur die Summe über die Funktionswerte von [mm] $\phi$ [/mm] an den Stellen $nT$, oder? Und das Ergebnis ist eine Zahl, oder nicht?
> >
> > Die Abtastung mit der Kamm-Distribution wird ja immer als
> > Multiplikation aufgeschrieben ([mm]s(t)[/mm] sei die abzutastende
> > und [mm]s_a(t)[/mm] die abgetastete Funktion):
> > [mm]s_a(t)=s(t)\cdot\Delta_T(\phi)[/mm]
> > Das heißt es wird eine Funktion mit einer Distribution
> > multipliziert, das Ergebnis müsste wieder eine
> > Distribution sein. Also eine Abbildung einer Testfunktion
> > auf eine Zahl. Und an der Stelle verstehe ich das nicht.
> > Was ist denn die Testfunktion bei der Abtastung?
>
> Irgendeine Funktion hald. Ein Eingangssignal.
Naja, das Eingangssignal ist ja [mm]s(t)[/mm]. Deshalb frage ich mich, was die Testfunktion [mm]\phi[/mm] sein soll.
>
> Und wie
> > kann das Ergebnis nur eine Zahl sein? Ich hätte mir als
> > Ergebnis eher sowas wie eine Funktion vorgestellt, die halt
> > überall 0 ist und an den Abtaststellen die Werte der
> > abgetasteten Funktion annimmt.
>
> Ja die Distribution multipliziert mit der Funktion ergibt
> eine neue Funktion. Doch betrachtest du quasi die Abbildung
> bzw. das Integral der Distribution multipliziert mit der
> Funktion, erhälst du eine Zahl.
Heißt das, dass ich das Integral gar nicht bilden muss? Weil, ich will ja keine Zahl sondern die abgetastete "Funktion".
Viele Grüße,
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 05.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
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> > Ja. Also nicht die Summe in dem Sinne, dass die Zahlen
> > aufaddiert werden. Es entsteht lediglich eine Neue
> > Funktion, welche überall gleich Null ist ausser an den
> > Stellen n*T.
> Genau das sehe ich hier leider nicht. Kannst Du das bitte
> erklären?
>
> [mm]\Delta_T(\phi) \colon= \sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT)[/mm]
> Da
> steht doch einfach nur die Summe über die Funktionswerte
> von [mm]\phi[/mm] an den Stellen [mm]nT[/mm], oder? Und das Ergebnis ist eine
> Zahl, oder nicht?
>
Ja da steht eine Summe, gemeint ist aber wirklich nicht die aufsummierung dieser Werte. Es ist einfach gemeint, dass die Funktion diskret abgetastet wird. Die Schreibweise mit diesem Summenzeichen macht aber trotzdem Sinn. Will man (z.B.) die Fouriertransformierte davon bilden, dann macht die Schreibweise Sinn, da die Fouriertransformation eine Integraltransformation ist und somit linear.
Du musst die vorstellen, die Summe werde nie wirklich ausgewertet. D.h. in [mm] \Delta_T(\phi) \colon [/mm] steckt noch das Summenzeichen und nicht die Summe!
> > >
> > > Die Abtastung mit der Kamm-Distribution wird ja immer als
> > > Multiplikation aufgeschrieben ([mm]s(t)[/mm] sei die abzutastende
> > > und [mm]s_a(t)[/mm] die abgetastete Funktion):
> > > [mm]s_a(t)=s(t)\cdot\Delta_T(\phi)[/mm]
> > > Das heißt es wird eine Funktion mit einer
> Distribution
> > > multipliziert, das Ergebnis müsste wieder eine
> > > Distribution sein. Also eine Abbildung einer Testfunktion
> > > auf eine Zahl. Und an der Stelle verstehe ich das nicht.
> > > Was ist denn die Testfunktion bei der Abtastung?
> >
> > Irgendeine Funktion hald. Ein Eingangssignal.
> Naja, das Eingangssignal ist ja [mm]s(t)[/mm]. Deshalb frage ich
> mich, was die Testfunktion [mm]\phi[/mm] sein soll.
Ja, das ist eine durchaus berechtigte Frage.....diese Definitionen sind nicht ganz logisch.
[mm] \sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT) [/mm] = [mm] \sum_{n\in\mathbb Z} \delta_{n,T} [/mm] = [mm] \sum_{n\in\mathbb Z} \delta(t [/mm] - n*T)
(Wobei die Summe nicht eine Summe im üblichen Sinn ist...)
>
> >
> > Und wie
> > > kann das Ergebnis nur eine Zahl sein? Ich hätte mir als
> > > Ergebnis eher sowas wie eine Funktion vorgestellt, die halt
> > > überall 0 ist und an den Abtaststellen die Werte der
> > > abgetasteten Funktion annimmt.
> >
> > Ja die Distribution multipliziert mit der Funktion ergibt
> > eine neue Funktion. Doch betrachtest du quasi die Abbildung
> > bzw. das Integral der Distribution multipliziert mit der
> > Funktion, erhälst du eine Zahl.
> Heißt das, dass ich das Integral gar nicht bilden muss?
> Weil, ich will ja keine Zahl sondern die abgetastete
> "Funktion".
Ja, es ergibt sich nur ein Kamm, welcher an den abgetasteten Stellen n*T die Werte [mm] \delta(0)*f(nT) [/mm] hat. Damit kannst du in der Praxis nicht viel anfgangen. Trotzdem enthält diese Abgetastete Funktion bestehend aus diskreten Werten Information über die Funktion.
Gruss
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Hallo,
bei mir sind immer noch Unklarheiten vorhanden. Aber ich denke, dass ich schon mehr verstanden habe, als am Anfang. Das was ich nun glaube verstandnen zu haben, will ich hier nochmal kurz zusammenfassen. Vielleicht könnt ihr mal drüber schauen und mir sagen, ob das richtig ist.
Der Dirac-Impuls wird über eine Folge definiert, bspw. so:
[mm]\delta_a=\tfrac {1}{\sqrt{2\pi a}} \cdot e^{-\frac {x^2}{2a}}[/mm]
Die Fläche unter [mm]\delta_a[/mm] ist 1. Wenn man nun a gegen 0 gehen lässt, wird der Funktionswert von [mm]\delta_a[/mm] an der Stelle 0 unendlich und sonst überall 0. Allerdings ist das Integral über [mm]\delta_0[/mm] nicht mehr 1 sondern 0. Um dies zu umgehen, wird auf Basis der Folge [mm]\delta_a[/mm] eine Distribution definiert - die Delta Distribution:
[mm]\delta(\phi) = \lim_{a\to 0} \int_{\R} \delta_a(x) \phi(x) \mathrm{d} x = \lim_{a\to 0} \int_{\R} \tfrac {1}{\sqrt{2\pi a}} \cdot e^{-\frac {x^2}{2a}} \phi(x) \mathrm{d} x=\phi(0)[/mm]
Mit dieser kann nun der Dirac-Kamm definiert werden. Dies geschieht, so wie ich das verstehe nun wieder auf der Basis der Dirac-Folge:
[mm]\Delta_a(x)=\sum_n \delta_a(x-nT)[/mm]
Daraus kann man eine Distribution ableiten:
[mm]\Delta(\phi)=\lim_{a \to 0}\int \Delta_a(x)\phi(x)\mathrm{d}x=\lim_{a \to 0}\int\sum_n \delta_a(x-nT)\phi(x)\mathrm{d}x=\sum_n\lim_{a \to 0}\int\delta_a(x-nT)\phi(x)\mathrm{d}x=\sum_n \phi(nT)[/mm]
Ich weiß zwar jetzt gerade nicht welche Vorraussetzungen erfüllt sein müssen, um Summe und Integral vertauschen zu dürfen. Aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass diese erfüllt sind, da ich auf diesem Weg zu dem Ergebnis: [mm]\Delta(\phi)=\sum_n \phi(nT)[/mm] komme (was ja auch bei wikipedia so steht).
Allerdings scheint mir die Auswertung der Distribution nicht sinnvoll zu sein, weil das Ergebnis einfach nur die Summe der Funktionswerte von [mm]\phi[/mm] im Abstand T ist. Außerdem verschwindet durch die Integration die Abhängigkeit von x, was für die Beschreibung eines zeitabhängigen, abgetasteten Signals natürlich schlecht ist (x ist in dem Fall die Zeit).
Die Abtastung selbst wird aber immer durch eine Multiplikation der abzutastenden Funktion mit dem Dirac-Kamm beschrieben. Da kann man ja wieder eine Folge aufstellen:
[mm]A_a(x)=s(x)\Delta_a(x)[/mm]
Diese Folge kann ich mir sogar noch gut vorstellen. Aber wenn man daraus wieder eine Distribution macht, dann hört es bei mir auf mit Verstehen:
[mm]A(\phi)=\lim_{a \to 0}\int s(x)\Delta_a(x)\phi(x)\mathrm{d}x=\lim_{a \to 0}\int s(x)\sum_n \delta_a(x-nT)\phi(x)\mathrm{d}x=\ldots\quad???[/mm]
Wie gesagt, ich verstehe nicht, warum man das x wegintegriert und welche Bedeutung [mm]\phi[/mm] hat ist mir überhaupt nicht klar.
Würde mich freuen, wenn irgendjemand mir noch Hinweise geben kann.
Danke schonmal und Grüße,
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mi 09.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo...
> Der Dirac-Impuls wird über eine Folge definiert, bspw.
> so:
> [mm]\delta_a=\tfrac {1}{\sqrt{2\pi a}} \cdot e^{-\frac {x^2}{2a}}[/mm]
>
> Die Fläche unter [mm]\delta_a[/mm] ist 1. Wenn man nun a gegen 0
> gehen lässt, wird der Funktionswert von [mm]\delta_a[/mm] an der
> Stelle 0 unendlich und sonst überall 0.
Ja.
Allerdings ist das
> Integral über [mm]\delta_0[/mm] nicht mehr 1 sondern 0.
Wer sagt das?! Das Integral ist immer noch 1, auch wenn der Deltastoss von Auge nur wie ein Unendlich Hoher Strich aussieht, integriert ergibt es die Fläche 1.
Um dies zu
> umgehen, wird auf Basis der Folge [mm]\delta_a[/mm] eine
> Distribution definiert - die Delta Distribution:
> [mm]\delta(\phi) = \lim_{a\to 0} \int_{\R} \delta_a(x) \phi(x) \mathrm{d} x = \lim_{a\to 0} \int_{\R} \tfrac {1}{\sqrt{2\pi a}} \cdot e^{-\frac {x^2}{2a}} \phi(x) \mathrm{d} x=\phi(0)[/mm]
>
> Mit dieser kann nun der Dirac-Kamm definiert werden. Dies
> geschieht, so wie ich das verstehe nun wieder auf der Basis
> der Dirac-Folge:
> [mm]\Delta_a(x)=\sum_n \delta_a(x-nT)[/mm]
> Daraus kann man eine
> Distribution ableiten:
> [mm]\Delta(\phi)=\lim_{a \to 0}\int \Delta_a(x)\phi(x)\mathrm{d}x=\lim_{a \to 0}\int\sum_n \delta_a(x-nT)\phi(x)\mathrm{d}x=\sum_n\lim_{a \to 0}\int\delta_a(x-nT)\phi(x)\mathrm{d}x=\sum_n \phi(nT)[/mm]
>
> Ich weiß zwar jetzt gerade nicht welche Vorraussetzungen
> erfüllt sein müssen, um Summe und Integral vertauschen zu
> dürfen.
Das darfst du im Allgemeinen immer. [mm] \integral_{}^{}{(f(x) + g(x))dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(f(x)dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{g(x)dx}
[/mm]
Aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass diese
> erfüllt sind, da ich auf diesem Weg zu dem Ergebnis:
> [mm]\Delta(\phi)=\sum_n \phi(nT)[/mm] komme (was ja auch bei
> wikipedia so steht).
> Allerdings scheint mir die Auswertung der Distribution
> nicht sinnvoll zu sein, weil das Ergebnis einfach nur die
> Summe der Funktionswerte von [mm]\phi[/mm] im Abstand T ist.
Es ist ja nicht die SUMME in dem Sinne von Zusammenzählen. Es ist eine Funktion.
> Außerdem verschwindet durch die Integration die
> Abhängigkeit von x, was für die Beschreibung eines
> zeitabhängigen, abgetasteten Signals natürlich schlecht
> ist (x ist in dem Fall die Zeit).
Ja, x verschwindet. Trotzdem behälst du Information über die Funktion.
>
>
> Die Abtastung selbst wird aber immer durch eine
> Multiplikation der abzutastenden Funktion mit dem
> Dirac-Kamm beschrieben. Da kann man ja wieder eine Folge
> aufstellen:
> [mm]A_a(x)=s(x)\Delta_a(x)[/mm]
> Diese Folge kann ich mir sogar noch gut vorstellen. Aber
> wenn man daraus wieder eine Distribution macht, dann hört
> es bei mir auf mit Verstehen:
> [mm]A(\phi)=\lim_{a \to 0}\int s(x)\Delta_a(x)\phi(x)\mathrm{d}x=\lim_{a \to 0}\int s(x)\sum_n \delta_a(x-nT)\phi(x)\mathrm{d}x=\ldots\quad???[/mm]
>
> Wie gesagt, ich verstehe nicht, warum man das x
> wegintegriert und welche Bedeutung [mm]\phi[/mm] hat ist mir
> überhaupt nicht klar.
Das [mm] \phi [/mm] ist doch reine Konvention. Ich habe im vorigen Post schon geschrieben was mit [mm] \phi [/mm] gemeint ist.
Lass dich nicht so verwirren von den Konventionen und von dem Namen "Distribution". Am besten machst du einmal ein paar Übungen dazu (Faltungen, Impulsantworten, etc.). Sonst ist es einfach trockene Materie: unendlich hoher Impuls mit Fläche 1 - das lässt auf den ersten Blick nichts Nutzbares darin erkennen).
Gruss
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