Direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 22.05.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Man untersuche, ob in den folgenden Beispielen der [mm] \IR^3 [/mm] die direkte Summe der Untervektorräume U, W ist:
a) U := [mm] \{(x_1, x_2, x_3) : x_1+x_2+x_3 =0, x_2=x_3\}
[/mm]
W := [mm] \{(x_1, x_2, x_3) : x_1+2x_2=0, x_1=x_3\}
[/mm]
b) U := [mm] \{(x_1, x_2, x_3) : x_1+x_2+x_3 =0, x_1+2x_2=0\}
[/mm]
W := [mm] \{(x_1, x_2, x_3) : x_1+2x_2=0\}
[/mm]
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Hallo,
ich bin mal wieder in einer Aufgabe stecken geblieben:
Zuerst habe ich Basen für die UVR gesucht, um ihre Dimension bestimmen zu können.
In Aufgabenteil b) erhalte ich wegen [mm] (x_1=x_1, x_2=-0,5x_1, x_3=-x_1-x_2) [/mm] als Basis [mm] \pmat{1\\-0,5\\-1}, \pmat{0\\0\\-1}.
[/mm]
Analog erhalte ich für W als Basis [mm] \pmat{-2\\1\\0}, \pmat{0\\0\\1}.
[/mm]
Wenn V direkte Summe von U und W ist, so muss gelten: dim V = dim U + dim W.
Hier habe ich aber dim [mm] \IR^3 [/mm] = 3 [mm] \neq [/mm] 2+2 = 4. Also kann [mm] \IR^3 [/mm] nicht direkte Summe von U, W sein.
In Teil a) bekomme ich als Basis für U aber [mm] \pmat{-1\\0\\0}, \pmat{-1\\1\\1} [/mm] und für W [mm] \pmat{1\\-0,5\\1}. (u_1,u_2, w_1) [/mm] sind l.u., bilden also eine Basis des [mm] \IR^3. [/mm]
Laut Fischer habe ich damit gezeigt, dass [mm] \IR^3 [/mm] die direkte Summe der UVR ist. Es gilt aber auch, dass V = U [mm] \bigoplus [/mm] W gleichwertig ist mit V = U+W und dim V = dim U + dim W.
Wenn ich also diese Definition der direkten Summe nehme, wie bildet man die Summe U+W zweier Untervektorräume?
Viele Grüße,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Fr 23.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Palonina!
> Man untersuche, ob in den folgenden Beispielen der [mm]\IR^3[/mm]
> die direkte Summe der Untervektorräume U, W ist:
> a) U := [mm]\{(x_1, x_2, x_3) : x_1+x_2+x_3 =0, x_2=x_3\}[/mm]
>
> W := [mm]\{(x_1, x_2, x_3) : x_1+2x_2=0, x_1=x_3\}[/mm]
>
> b) U := [mm]\{(x_1, x_2, x_3) : x_1+x_2+x_3 =0, x_1+2x_2=0\}[/mm]
>
> W := [mm]\{(x_1, x_2, x_3) : x_1+2x_2=0\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin mal wieder in einer Aufgabe stecken geblieben:
>
> Zuerst habe ich Basen für die UVR gesucht, um ihre
> Dimension bestimmen zu können.
> In Aufgabenteil b) erhalte ich wegen [mm](x_1=x_1, x_2=-0,5x_1, x_3=-x_1-x_2)[/mm]
> als Basis [mm]\pmat{1\\-0,5\\-1}, \pmat{0\\0\\-1}.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das kann keine Basis sein, denn die beiden Vektoren, die du angegeben hast, erfüllen nicht die Bedingungen. Außerdem hat U die Dimension 1.
Richtig wäre [mm]\vektor{1\\-1/2\\-1/2} [/mm].
> Analog
> erhalte ich für W als Basis [mm]\pmat{-2\\1\\0}, \pmat{0\\0\\1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass U ein Unterraum von W ist.
> In Teil a) bekomme ich als Basis für U aber
> [mm]\pmat{-1\\0\\0}, \pmat{-1\\1\\1}[/mm]
Die Summe der drei Komponenten muss 0 sein, nach Definition von U.
> und für W
> [mm][mm] \pmat{1\\-0,5\\1}. [/mm]
> Laut Fischer habe ich damit gezeigt, dass [mm]\IR^3[/mm] die direkte
> Summe der UVR ist. Es gilt aber auch, dass V = U [mm]\bigoplus[/mm]
> W gleichwertig ist mit V = U+W und dim V = dim U + dim W.
> Wenn ich also diese Definition der direkten Summe nehme,
> wie bildet man die Summe U+W zweier Untervektorräume?
Der entsheidende Punkt ist, dass jeder Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] eindeutig als Summe zweier Vektoren aus U und V geschrieben werden kann. Das bedeutet, dass der einzige Vektor, der in beiden Vektorräumen liegt, der Nullvektor ist. Das ist also ein notwendige Bedingung, die du anhand der Definition von U und V überprüfen kannst.
Jetzt überlege dir mal, was das mit der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren zu tun hat!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Palonina |
Hallo Rainer,
>
> Das kann keine Basis sein, denn die beiden Vektoren, die du
> angegeben hast, erfüllen nicht die Bedingungen. Außerdem
> hat U die Dimension 1.
>
> Richtig wäre [mm]\vektor{1\\-1/2\\-1/2} [/mm].
>
> Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass U ein Unterraum
> von W ist.
ui, da lief ja doch einiges schief. Ich habe beim Umformen der Koordinaten [mm] $x_i$ [/mm] nicht daran gedacht, die bekannten Beziehungen wieder in die anderen einzusetzen. Jetzt komme ich bei der Basis von U in Teil b) auch auf deinen Basisvektor.
Und da U ein Unterraum vom 2-dimensionalen UVR W ist, kann [mm]\IR^3[/mm] nicht direkte Summe von U und W sein, da die drei Basisvektoren l.a. sind.
>
> > In Teil a) bekomme ich als Basis für U aber
> > [mm]\pmat{-1\\0\\0}, \pmat{-1\\1\\1}[/mm]
>
>
>
> Die Summe der drei Komponenten muss 0 sein, nach Definition
> von U.
Jetzt zu Teil a)
Da bekomme ich nur noch einen Basisvektor heraus. [mm] x_1= -x_2-x_3, x_2=x_3, x_3=x_3 [/mm] und damit als Basisvektor [mm] \pmat{-2\\1\\1}. [/mm] Dieser Vektor erfüllt jetzt auch die Bedingungen von U.
Somit habe ich aber zwei UVR mit Dimension 1, also bin ich hier auch fertig, da es auch hier nicht möglich ist, dass [mm] \IR^3 [/mm] direkte Summe von U und W ist.
Oder habe ich es mir jetzt wieder zu leicht gemacht?
Viele Grüße,
Palonina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Sa 24.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Palonina!
> > Das kann keine Basis sein, denn die beiden Vektoren, die du
> > angegeben hast, erfüllen nicht die Bedingungen. Außerdem
> > hat U die Dimension 1.
> >
> > Richtig wäre [mm]\vektor{1\\-1/2\\-1/2} [/mm].
> >
> > Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass U ein Unterraum
> > von W ist.
>
> ui, da lief ja doch einiges schief. Ich habe beim Umformen
> der Koordinaten [mm]x_i[/mm] nicht daran gedacht, die bekannten
> Beziehungen wieder in die anderen einzusetzen. Jetzt komme
> ich bei der Basis von U in Teil b) auch auf deinen
> Basisvektor.
> Und da U ein Unterraum vom 2-dimensionalen UVR W ist, kann
> [mm]\IR^3[/mm] nicht direkte Summe von U und W sein, da die drei
> Basisvektoren l.a. sind.
>
>
> >
> > > In Teil a) bekomme ich als Basis für U aber
> > > [mm]\pmat{-1\\0\\0}, \pmat{-1\\1\\1}[/mm]
> >
> >
> >
> > Die Summe der drei Komponenten muss 0 sein, nach Definition
> > von U.
>
> Jetzt zu Teil a)
> Da bekomme ich nur noch einen Basisvektor heraus. [mm]x_1= -x_2-x_3, x_2=x_3, x_3=x_3[/mm]
> und damit als Basisvektor [mm]\pmat{-2\\1\\1}.[/mm] Dieser Vektor
> erfüllt jetzt auch die Bedingungen von U.
> Somit habe ich aber zwei UVR mit Dimension 1, also bin ich
> hier auch fertig, da es auch hier nicht möglich ist, dass
> [mm]\IR^3[/mm] direkte Summe von U und W ist.
> Oder habe ich es mir jetzt wieder zu leicht gemacht?
Nein, das ist völlig richtig.
Viele Grüße
Rainer
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hallo, ich sitz auch gerade an der aufgabe und bin mir nich sicher, ob ich das richtig verstanden hab
Ich hab bei b) [mm]\pmat{1\\-1/2\\-1/2}.[/mm] für U und [mm]\pmat{1\\-1/2\\1}.[/mm] für W raus.
und nach umformungen [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Seh ich das richtig, dass es keine direkte Summe is, weil die 2te Zeile Null is?
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> hallo, ich sitz auch gerade an der aufgabe und bin mir nich
> sicher, ob ich das richtig verstanden hab
>
>
> Ich hab bei b) [mm]\pmat{1\\-1/2\\-1/2}.[/mm] für U und
> [mm]\pmat{1\\-1/2\\1}.[/mm] für W raus.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dein Ergebnis für U stimmt, das für W nicht (bzw. es ist nur das halbe Ergebnis)
In W hast Du doch ein LGS in drei Variablen [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] zu lösen, welches aus nur einer Gleichung besteht.
Dein Lösungsraum wird also mindestens zweidimensional sein.
>
>
> und nach umformungen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> Seh
> ich das richtig, dass es keine direkte Summe is, weil die
> 2te Zeile Null is?
Ich nehme mal an, daß Du die beiden Vektoren auf lineare Unabhängigkeit geprüft hast, indem Du sie in eine matix gestellt und diese auf ZSF gebracht hast.
Da der Rang der Matrix in Zeilenstufenform =2 ist, sind die beiden ursprünglich eingesetzten Vektoren linear unabhängig.
Eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] sind sie natürlich nicht, da zusind es zu wenig - Du bräuchtest ja drei linear unabhängige Vektoren.
Die Folgerung, die Du aus Deiner Rechnung ziehen müßtest, wäre: [mm] \IR^3 [/mm] ist nicht die Summe von U und W, denn die Dimension der Summe ist kleiner als 3.
Nur - Du hast ja die Basis von W nicht richtig bestimmt.
Gruß v. Angela
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