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| Aufgabe | Hi, könntet ihr mir wiedereinmal weiterhelfen?
Seien U = [(1, 0, 1, 2), (1, 1, 1, 1), (3, 1, 3, 5)] und W = [(2, 0, 2, 3), (1, 0, 0, 0)] (Teilräume von [mm] \IR^4 [/mm] ). Bestimme eine Basis von U +W und stelle fest, ob die Summe U +W direkt ist. |
Ok U + W ist doch nichts anderes als der Spann von
< [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 5} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] >
Somit ein Erzeugendensystem.
Dieses Schreibe ich nun in eine Matrix und untersuche (mittels Gauss - Algorithmus) auf lineare Unabhängigkeit.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 3 & 0 }
[/mm]
Gauss - Algorithmus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Nun sind doch die "Zeilen mit Köpfen" die linear Unabhängigen Vektoren. Darum bilden diese doch ein Basis.
Basis = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2} , \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} , \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 3} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \}
[/mm]
Ok aber wie mache ich dies mit der direkten Summe:
Mir ist bewusst, dass U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0\} [/mm] und dim(W) + dim(U) = [mm] dim(\IR^4) [/mm] sein muss.
Letzteres ist doch erfüllt, denn dim(W) = 2 und dim(U) = 2.
Somit 2 + 2 = 4. Passt
Nur wie ist dies mit dem Schnitt?
Danke euch?
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> Hi, könntet ihr mir wiedereinmal weiterhelfen?
>
> Seien U = [(1, 0, 1, 2), (1, 1, 1, 1), (3, 1, 3, 5)] und W
> = [(2, 0, 2, 3), (1, 0, 0, 0)] (Teilräume von [mm]\IR^4[/mm] ).
> Bestimme eine Basis von U +W und stelle fest, ob die Summe
> U +W direkt ist.
> Ok U + W ist doch nichts anderes als der Spann von
>
> < [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
2}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\
1 \\
3 \\
5}[/mm] , [mm]\vektor{2 \\
0 \\
2 \\
3}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm] >
>
> Somit ein Erzeugendensystem.
Hallo,
die 5 Vektoren sind ein Erzeugendensystem.
>
> Dieses Schreibe ich nun in eine Matrix und untersuche
> (mittels Gauss - Algorithmus) auf lineare
> Unabhängigkeit.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 3 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 3 & 0 }[/mm]
>
> Gauss - Algorithmus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
>
> Nun sind doch die "Zeilen mit Köpfen" die linear
> Unabhängigen Vektoren. Darum bilden diese doch ein Basis.
>
> Basis = [mm]\{ \vektor{1 \\
0 \\
1 \\
2} , \vektor{1 \\
1 \\
1 \\
1} , \vektor{2 \\
0 \\
2 \\
3} , \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0} \}[/mm]
Ja, das ist eine Basis von U+W, und Du kannst Dir gleich überlegen, daß daher [mm] U+W=\IR^4.
[/mm]
>
>
> Ok aber wie mache ich dies mit der direkten Summe:
>
> Mir ist bewusst, dass U [mm]\cap[/mm] W = [mm]\{0\}[/mm] und dim(W) + dim(U) = [mm]dim(\IR^4)[/mm] sein muss.
Moment! Hier ist das zwar wirklich so, aber die Summe von [mm] U':=<\vektor{1\\0\\0}> [/mm] und [mm] W':=<\vektor{0\\1\\0}> [/mm] ist auch direkt - obgleich [mm] U'+W'\not=\IR^4.
[/mm]
> dim(W) = 2 und dim(U) = 2.
Ja. Du könntest jetzt die Dimensionsformel [mm] \dim\left(U+W\right)=\dim [/mm] U + [mm] \dim [/mm] W - [mm] \dim\left(U\cap W\right) [/mm] ins Feld führen, sofern sie bekannt ist.
Damit hast Du's sofort.
Oder Du rechnest den Schnitt aus: beschränke Dich hierbei auf die Basen [mm] (u_1, u_2) [/mm] von U und [mm] (w_1, w_2) [/mm] von W und errechne, unter welchen Umständen [mm] \lambda_1u_1+\lambda_2u_2=\mu_1w_1+\mu_2w_2 [/mm] gilt.
LG Angela
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> > dim(W) = 2 und dim(U) = 2.
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> Ja. Du könntest jetzt die Dimensionsformel
> [mm]\dim\left(U+W\right)=\dim[/mm] U + [mm]\dim[/mm] W - [mm]\dim\left(U\cap W\right)[/mm]
> ins Feld führen, sofern sie bekannt ist.
> Damit hast Du's sofort.
Ja so hätte ich es mir gedacht,denn
dim(U+W) = 4
dim(W) =2
dim(U) =2
Somit gilt doch:
4 = 2+ 2 - dim( W [mm] \cap [/mm] U )
Also muss dim(W [mm] \cap [/mm] U) = 0 sein
Folgerung; die Summe ist direkt.
>
> Oder Du rechnest den Schnitt aus: beschränke Dich hierbei
> auf die Basen [mm](u_1, u_2)[/mm] von U und [mm](w_1, w_2)[/mm] von W und
> errechne, unter welchen Umständen
> [mm]\lambda_1u_1+\lambda_2u_2=\mu_1w_1+\mu_2w_2[/mm] gilt.
Wie meist du das?
Da [mm](u_1, u_2)[/mm] eine BAsis ist gilt doch [mm] \lambda_1u_1+\lambda_2u_2= [/mm] 0 für [mm] \lambda_1= \lambda_2 [/mm] = 0
Ebenfalls für W:
[mm] \mu_1w_1+\mu_2w_2 [/mm] = 0 für [mm] \mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2 [/mm] =0
Dann würde deine Annahme
[mm]\lambda_1u_1+\lambda_2u_2=\mu_1w_1+\mu_2w_2[/mm]
zu
0=0
Hast du dies so gemeint?
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> LG Angela
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> > > dim(W) = 2 und dim(U) = 2.
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> > Ja. Du könntest jetzt die Dimensionsformel
> > [mm]\dim\left(U+W\right)=\dim[/mm] U + [mm]\dim[/mm] W - [mm]\dim\left(U\cap W\right)[/mm]
> > ins Feld führen, sofern sie bekannt ist.
> > Damit hast Du's sofort.
>
> Ja so hätte ich es mir gedacht,denn
>
> dim(U+W) = 4
> dim(W) =2
> dim(U) =2
>
> Somit gilt doch:
> 4 = 2+ 2 - dim( W [mm]\cap[/mm] U )
> Also muss dim(W [mm]\cap[/mm] U) = 0 sein
>
> Folgerung; die Summe ist direkt.
Hallo,
ja, genau.
> >
> > Oder Du rechnest den Schnitt aus: beschränke Dich hierbei
> > auf die Basen [mm](u_1, u_2)[/mm] von U und [mm](w_1, w_2)[/mm] von W und
> > errechne, unter welchen Umständen
> > [mm]\lambda_1u_1+\lambda_2u_2=\mu_1w_1+\mu_2w_2[/mm] gilt.
>
> Wie meist du das?
Du suchst die Vektoren, die in beiden Räume liegen. Man kann sie sowohl so wie rechts schreiben als auch so wie links.
Und nun löst Du die Gleichung [mm] $\lambda_1u_1+\lambda_2u_2-\mu_1w_1-\mu_2w_2$=0, [/mm] stellst fest, daß dies nur für [mm] \lambda_1=\lambda_2=\mu_1=\mu_2=0 [/mm] funktioniert, und weißt damit, daß der Nullvektor der einzige Vektor ist, der im Schnitt liegt.
LG Angela
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> > >
> > >
> > > > dim(W) = 2 und dim(U) = 2.
> > >
> > > Ja. Du könntest jetzt die Dimensionsformel
> > > [mm]\dim\left(U+W\right)=\dim[/mm] U + [mm]\dim[/mm] W - [mm]\dim\left(U\cap W\right)[/mm]
> > > ins Feld führen, sofern sie bekannt ist.
> > > Damit hast Du's sofort.
> >
> > Ja so hätte ich es mir gedacht,denn
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> > dim(U+W) = 4
> > dim(W) =2
> > dim(U) =2
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> > Somit gilt doch:
> > 4 = 2+ 2 - dim( W [mm]\cap[/mm] U )
> > Also muss dim(W [mm]\cap[/mm] U) = 0 sein
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> > Folgerung; die Summe ist direkt.
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> Hallo,
>
> ja, genau.
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> > > Oder Du rechnest den Schnitt aus: beschränke Dich hierbei
> > > auf die Basen [mm](u_1, u_2)[/mm] von U und [mm](w_1, w_2)[/mm] von W und
> > > errechne, unter welchen Umständen
> > > [mm]\lambda_1u_1+\lambda_2u_2=\mu_1w_1+\mu_2w_2[/mm] gilt.
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> > Wie meist du das?
>
> Du suchst die Vektoren, die in beiden Räume liegen. Man
> kann sie sowohl so wie rechts schreiben als auch so wie
> links.
>
> Und nun löst Du die Gleichung
> [mm]\lambda_1u_1+\lambda_2u_2-\mu_1w_1-\mu_2w_2[/mm]=0, stellst
> fest, daß dies nur für [mm]\lambda_1=\lambda_2=\mu_1=\mu_2=0[/mm]
> funktioniert, und weißt damit, daß der Nullvektor der
> einzige Vektor ist, der im Schnitt liegt.
Ach alles klar danke dir :)
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> LG Angela
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