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| Aufgabe | | U1,...Uk Unterräume eine K-Vektorraums V mit Basen B1...Bk. Zeige: V= U1 [mm] \oplus [/mm] U2 [mm] \oplus [/mm] ...Uk genau dann, wenn B= B1 [mm] \cup [/mm] B2 [mm] \cup [/mm] B3... [mm] \cup [/mm] Bk Basis von V ist. |
Hallo,
ich schreibe Morgen eine Klausur und habe keine Ahnung, wie obige Aufgaben gehen soll. Kann mir jemand helfen? danke!
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Hallo,
50 Aufgaben mit immer demselben Sermon ohne jeglichen eigenen Ansatz ...
Mann Mann, das wird aber knapp bis morgen ...
Toi toi auf jeden Fall!
Gruß
schachuzipus
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Hmm, so wie das da steht ist die Aussage falsch.
Wähle etwa $k=2$, [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2 [/mm] = V [mm] \neq \{ 0 \}$ [/mm] und [mm] $B=B_1 [/mm] = [mm] B_2$.
[/mm]
Dann ist zwar [mm] $B_1 \cup B_2 [/mm] = B$, aber [mm] $U_1 \cap U_2 \neq \{ 0 \}$, [/mm] was für eine direkte Summe aber gefordert ist.
Damit kann die zu zeigende Aussage schonmal nicht mit direkter Summe gemeint sein.
Gehen wir also davon aus, dass hier nur eine Summe von Vektorräumen gemeint ist, jedoch keine direkte:
Wähle dann [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2 [/mm] = V$ wie oben, aber zwei verschiedene Basen [mm] $B_1 \neq B_2$.
[/mm]
Dann ist [mm] $B_1 \cup B_2$ [/mm] keine Basis von $V$ (da linear abhängige Elemente enthalten sind).
Deshalb zweifle ich gerade ganz stark das "genau dann" an.
Ist $B = [mm] B_1 \cup \ldots \cup B_k$ [/mm] so ist $V = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] U_k$.
[/mm]
Aber weder die direkte Summe noch die Rückrichtung stimmen.
Also guck nochmal genau nach, was in der Aufgabe steht, denn so macht das keinen Sinn.
lg
Schadow
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