Direkter Summand < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 28.06.2006 | | Autor: | fornie |
| Aufgabe | Sei M ein R-Modul. Ein Untermodul N [mm] \subsetM [/mm] heißt direkter Summand, wenn es einen Untermodul N' [mm] \subsetM [/mm] gibt, so dass M= N [mm] \oplus [/mm] N'.
a) Es gibt einen Untermodul N von M, der direkter Summand ist [mm] \gdw [/mm] es gibt [mm] \varphi:M\to [/mm] M R-linear mit [mm] \varphi^{2}=\varphi
[/mm]
b) Ist jeder Untermodul [mm] N\subsetM [/mm] ein direkter Summand? |
Hallo,
also die Definition steht ja in der Aufgabe trotzdem komm ich bei a nicht in die Gänge.
Zu b also ich hab schon irgendwo gelesen das es nicht so ist. Nun suche ich ein geeignetes Gegenbeispiel, wo find ich das denn? Hab auch mal gefunden das: nicht freier Moduln tritt beispielsweise
für Integritätsringe R auf, die keine Hauptidealringe sind. Ist I ein
Ideal, welches nur von mindestens zwei Elementen erzeugt werden kann, so ist I als R-Modul nicht frei. Auch ist I dann zwar ein Untermodul von R, aber kein direkter Summand von R. ABer so ganz hab ich das Bsp. nicht verstanden gibt es ein einfacheres oder ist das das Standardbeispiel.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ein kleiner Tip zu (a):
Versuch es doch mal mit Kern und Bild von [mm] $\phi$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mo 03.07.2006 | | Autor: | fornie |
Also so wirklich komm ich nicht voran. Mit Bild und Kern?
Haben a nochmal umformuliert also
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Ist N direkter Summand [mm] \Rightarrow \phi:M \to [/mm] M [mm] \phi^{2}=\phi [/mm]
[mm] \phi(M)=N [/mm]
[mm] \phi [/mm] eingeschränkt auf N ist ja dann Isomorphismus
" [mm] \Leftarrow" [/mm] Ist [mm] \phi:M \to [/mm] M [mm] \phi^{2}=\phi \Rightarrow [/mm] Es gibt N [mm] \phi [/mm] eingeschränkt auf N ist Isomorphismus [mm] \phi(M)=N
[/mm]
z.z. [mm] N=\phi(M) \Rightarrow [/mm] N direkter Summand
|
|
|
| |
|
Hallo und guten Tag,
sei also [mm] \varphi\colon M\to [/mm] M mit [mm] \varphi^2=\varphi, [/mm] dann ist
[mm] M_1:=Bild(\varphi)=\{\varphi (x)|x\in M\} [/mm] ein solcher Untermodul, und
[mm] M_2:=\{x-\varphi (x)|x\in M\} [/mm] ist der weitere fehlende Untermodul mit [mm] M_1\oplus M_2=M.
[/mm]
Dabei folgt [mm] M_1+M_2=M [/mm] sofort aus der Definition, und dass es direkte Summe ist, muss man halt noch zeigen
(sei zB [mm] x-\varphi [/mm] (x) [mm] =\varphi [/mm] (y), dann ist also [mm] x=\varphi [/mm] (x+y), also [mm] \varphi (x)=\varphi^2 (x+y)=\varphi (x+y)=\varphi [/mm] (x) + [mm] \varphi [/mm] (y), somit
[mm] \varphi [/mm] (y)=0 und damit also [mm] M_1\cap M_2=\{0\}.
[/mm]
Umgekehrt sei [mm] M=M_1\oplus M_2 [/mm] mit [mm] \{0\}\subsetneq M_1\subsetneq [/mm] M, dann sein [mm] \varphi\colon M\to [/mm] M definiert durch
[mm] \varphi [/mm] | [mm] M_1=id|M_1 [/mm] und [mm] \varphi [/mm] (x)=0 für [mm] x\in M_2.
[/mm]
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich sitz da auch grad dran...
Also deine Hinrichtung ist vollständig wenn ich das so seh oder?
Bei der Rückrichtung weiß ich aber nicht genau wo du hin willst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 05.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mo 03.07.2006 | | Autor: | andreas |
hi
suche mal im [mm] $\mathbb{Z}$-modul $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ [/mm] nach untermoduln. können diese alle direkte summanden sein?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mo 03.07.2006 | | Autor: | fornie |
Danke... aber das mit den Untermoduln bekomm ich nicht hin war schon beim letzten Übungsblatt so ein Problem und das gibts erst später zurück.
Also /IZ//4/IZ besteht aus den Restklassen 0,1,2,3
Die Eigenschaften von Untermoduln kenn ich, aber wie man die findet weiß ich nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mo 03.07.2006 | | Autor: | andreas |
hi
suche doch erstmal nach additiven untergruppen, mit z.b. zwei elementen und probiere dir klar zu machen, dass es sich tatsächlich um untermoduln handelt.
ab
|
|
|
|
