Disjunkte Ereignisse. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 18.08.2012 | | Autor: | yuppi |
Hallo Zusammen,
ich bin auf folgendes Verständnisproblem gestoßen:
Es gilt ja:
Wenn das gleichzeitige Auftreten zweier Ereignisse unmöglich ist, spricht man ja von disjunkten Ereignisse.
Bsp. A=(1,2,3) B=(4,5,6)
Das komische ist nun, dass das Auftreten von :
P( A [mm] \cap [/mm] B ) = P(A) + P(B) - P( A [mm] \cup [/mm] B ) nicht die Wahrscheinlichkeit 0 ergibt,
Obwohl A [mm] \cap [/mm] B = leere Menge
Frage 2:
Wären A und B keine disjunkten Ereignise, wäre dann:
P( A [mm] \cap [/mm] B ) = P(A) + P(B) // Nur mal so geraten...
Gruß yuppi.
Die Frage 1 beschäftigt mich schon was länger.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1.) Ok, also [mm] $P(A\cap [/mm] B)=0$, weil $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$. [/mm] Nun sollte bei [mm] $P(A)+P(B)-P(A\cup [/mm] B)$ das gleiche rauskommen. Hier gilt nun [mm] $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$. [/mm] Aber [mm] $P(A\cup B)=\{1,2,3,4,5,6\}$, [/mm] d.h. es gilt doch [mm] $P(A\cup [/mm] B)=1$! Dann gilt doch [mm] $P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{1}{2}$+\frac{1}{2}$-1=0$. [/mm] Ist das ok so?
2.) Wenn 2 beliebige Ereignisse X und Y nicht disjunkt sind, dann gilt die Formel oben, also [mm] $P(X\cap Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cup [/mm] Y)$. Diese Formel ist allgemeingültig, wenn du so willst, egal wie X und Y aussehen. Wenn X und Y disjunkt sind, dann ist aber [mm] $P(X\cap [/mm] Y)=0$ und daher gilt dann [mm] $0=P(X)+P(Y)-P(X\cup [/mm] Y) [mm] \gdw P(X\cup [/mm] Y)=P(X)+P(Y)$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 18.08.2012 | | Autor: | yuppi |
Kurze Frage noch:
A und B ist doch im Bsp. oben disjunkt. Da A und B = leere Menge
Du schreibst nicht... Wie meinst du das genau, oder hast du dich verschrieben ??
Gruß yuppi.
Danke für die Antwort =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Meinst du bei 2.)? Das war nicht mehr auf dein Beispiel bezogen, sondern so allgemein. :) Denk dir da 2 andere Ereignisse hin, die nichts mehr mit dem Würfeln oben zu tun haben.
Aber deine A und B im Beispiel sind natürlich disjunkt. Ich ersetze mal bei 2.) ein bisschen was.
Ansonsten ist alles klar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:15 Sa 18.08.2012 | | Autor: | yuppi |
Eine Frage noch zu 1)
Du sagst:
$ [mm] P(A\cup [/mm] B)=1 $
Das kannst du doch nur behaupten da A [mm] \cup [/mm] B = Der Ergebnismenge entspricht, oder ?
Das ist ja sehbar, da wir ja die Ereignisse defeniert haben vom Würfel....
Sonst kann man diese Behauptung nicht einfach so treffen...
Beispiel:
P(A) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
P(B) = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] P(A\cap [/mm] B) = [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
Wir sehen hier sofort, A und B sind keine disjunkte Ereignisse, da sie jeweils mit einer unterschiedlichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
Was gilt bzgl. P (A [mm] \cup [/mm] B) ? In diesem Fall nicht gleich 1 =? Wie würde man es begründen
Den Rest habe ich verstanden, was du geschrieben hast..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Sa 18.08.2012 | | Autor: | yuppi |
Hi,
die Frage hat sich erleidigt.
Es gilt ja:
P ( A [mm] \cap [/mm] V B) ungleich 0. Demnach kann es sich bei A und B nicht um disjunkte Ereignisse handeln, da dies ja somit nicht eine Leere Menge ist.
Danke nochmals, hast du gut erklärt.
|
|
|
|
