Distribution endl. Maße < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:09 Do 15.01.2015 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{M}_f(\mathbb{R}^n)$ [/mm] die Menge aller endlichen Maße [mm] $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\longrightarrow[0,\infty)$. [/mm] Für [mm] $\mu\in\mathcal{M}_f(\mathbb{R}^n)$ [/mm] seien
[mm] $$[\mu](\varphi):=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu\qquad(\varphi \in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n))\qquad\text{ und }\qquad\Psi_\mu(t):=\int_{\mathbb{R}^n}\exp(\mathrm{i}t\cdot x)\mathrm{d}\mu(x)\qquad (t\in\mathbb{R}^n)$$
[/mm]
a) Beweisen sie, dass die Abbildung [mm] $F:\mathcal{M}_f(\mathbb{R}^n)\longrightarrow\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n),\;\mu\mapsto[\mu]$ [/mm] wohldefiniert und injektiv ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für jede offene Menge [mm] $U\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] eine Folge [mm] $(\varphi_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{S}(\mahbb{R}^n)$ [/mm] existiert mit [mm] $0\leq\varphi_k\leq\chi_U$ [/mm] für alle [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $\varphi_k(x)\longrightarrow\chi_U,\;k\longrightarrow \infty$ [/mm] für alle [mm] $x\in\mathbb{R}^n$.
[/mm]
b) Für [mm] $f\in\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n)$ [/mm] sei [mm] $[f](\varphi):=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f(x)\mathrm{d}x\quad (\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n))$. [/mm] Beweisen sie, dass die Abbildung [mm] $G:\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n)\longrightarrow\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n),\;f\mapsto[f]$ [/mm] wohldefiniert und injektiv ist.
c) Für [mm] $f\in C_b(\mathbb{R}^n)$ [/mm] sei [mm] $[f](\varphi):=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f(x)\mathrm{d}x\quad (\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n))$. [/mm] Zeigen sie, dass die Abbildung [mm] $H:C_b(\mathbb{R}^n)\longrightarrow\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n),\;f\mapsto[f]$ [/mm] wohldefiniert und injektiv ist. [mm] ($C_b(\mathbb{R}^n)$ [/mm] Raum der stetigen, beschränkten Funktionen [mm] $f:\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{C}$)
[/mm]
d)Zeigen sie, dass die Abbildung [mm] $I:\mathcal{M}_f(\mathbb{R}^n)\longrightarrow C_b(\mathbb{R}^n),\;\mu\mapsto\Psi_\mu$ [/mm] wohldefiniert und injektiv ist. |
Guten Abend zusammen,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten und habe etwas Anfangsschwierigkeiten bein der Injektivität.
Die Wohldefiniertheit ist kein Problem:
a) [mm] $|F(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\left|\varphi\right|\mathrm{d}\mu\leq\parallel\varphi\parallel_\infty\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\mu=\parallel\varphi\parallel_\infty\mu(\mathbb{R}^n)< \infty$, [/mm] da [mm] $\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ [/mm] beschränkt und [mm] $\mu$ [/mm] endlich.
b) $|G(f)|= [mm] \left|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f(x)\mathrm{d}x\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\left|\varphi(x)\right|\left|f(x)\right|\mathrm{d}x\leq\parallel\varphi\parallel_\infty\underbrace{\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|\mathrm{d}x}_{<\infty\text{, da }f\in L^1(\mathbb{R}^n)}< \infty$
[/mm]
c) Hier weiß ich noch nicht genau, wie ich die wohldefiniertheit zeigen soll, da wenn ich analog zu b) und dann mit der sup-Norm von $f$ Abschätze ja [mm] $\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}x=\infty$ [/mm] als Faktor stehen habe.
d) [mm] $|I(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\exp(\mathrm{i}t\cdot x)\mathrm{d}\mu(x)\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\underbrace{\left|\exp(\mathrm{i}t\cdot x)\right|}_{=1}\mathrm{d}\mu(x)=\mu(\mathbb{R}^n)< \infty$
[/mm]
Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Injektivität jeweils zeigen soll. Auch mit dem Hinweis weiß ich nicht richtig etwas anzufangen.
Ich muss ja zeigen: für [mm] $\mu,\nu\in\mathcal{M}_f(\mathbb{R}^n)$
[/mm]
[mm] $\left(F(\mu)=F(\nu)\right)\Rightarrow \left(\mu=\nu\right)$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $\left(\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\nu\right)\Rightarrow \left(\mu(B)=\nu(B)\text{ für alle }B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right)$
[/mm]
Ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen.
Liebe Grüße
HugATree
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 15.01.2015 | | Autor: | HugATree |
Also ich habe glaube ich etwas grundlegendes übersehen. Da [mm] $\varphi$ [/mm] als Testfunktion natürlich stetig und mit kompaktem Träger $K$, kann ich das doch folgendermaßen abschätzen:
[mm] $$|H(f)|=\left|\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)\mathrm{d}x\right|\leq \int_{\mathbb{R}^n}\left|f(x)\varphi(x)\right|\mathrm{d}x\leq \parallel f\parallel_\infty\int_{\mathbb{R}^n}\left|\varphi(x)\right|\mathrm{d}x\leq \parallel f\parallel_\infty\parallel\varphi\parallel_\infty\mu(K)<\infty,$$
[/mm]
wobei [mm] $\mu$ [/mm] Lebesgue-Maß.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Do 15.01.2015 | | Autor: | andyv |
$ [mm] \varphi [/mm] $ hat i.A. keinen kompakten Träger, dennoch ist sie integrierbar. Das sieht man, wenn man $ [mm] \varphi [/mm] $ durch eine geeignete rationale Funktion abschätzt. Wenn man etwas sorgfältiger vorgeht, erhält man sogar die Stetigkeit des Funktionals als Bonus.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 Fr 16.01.2015 | | Autor: | HugATree |
Danke für deine Antwort :)
> [mm]\varphi[/mm] hat i.A. keinen kompakten Träger, dennoch ist sie
> integrierbar. Das sieht man, wenn man [mm]\varphi[/mm] durch eine
> geeignete rationale Funktion abschätzt. Wenn man etwas
> sorgfältiger vorgeht, erhält man sogar die Stetigkeit des
> Funktionals als Bonus.
>
Ich habe bei uns im Skript folgende Abschätzung gefunden (im Beweis zu [mm] $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset L^p(\mathbb{R}^n)$ [/mm] für [mm] $p\in[1,\infty]$):
[/mm]
[mm] $$\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|\mathrm{d}x\leq p_N(f)\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{1+|x|^N}\mathrm{d}x$$
[/mm]
für $N>n$ und mit [mm] $p_N(f):=\max\lmits_{|\alpha|\leq N}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}^n}(1+|x|^N)|\partial^\alpha [/mm] f(x)|$.
Ist es das, was du gemeint hast?
> Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Fr 16.01.2015 | | Autor: | andyv |
Ja, damit hast du Integrierbarkeit und Stetigkeit in einem.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 15.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
>
> Guten Abend zusammen,
>
> ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten und habe
> etwas Anfangsschwierigkeiten bein der Injektivität.
> Die Wohldefiniertheit ist kein Problem:
>
> a) [mm]|F(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\left|\varphi\right|\mathrm{d}\mu\leq\parallel\varphi\parallel_\infty\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\mu=\parallel\varphi\parallel_\infty\mu(\mathbb{R}^n)< \infty[/mm],
> da [mm]\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)[/mm] beschränkt und [mm]\mu[/mm]
> endlich.
>
> b) [mm]|G(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f(x)\mathrm{d}x\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\left|\varphi(x)\right|\left|f(x)\right|\mathrm{d}x\leq\parallel\varphi\parallel_\infty\underbrace{\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|\mathrm{d}x}_{<\infty\text{, da }f\in L^1(\mathbb{R}^n)}< \infty[/mm]
>
> c) Hier weiß ich noch nicht genau, wie ich die
> wohldefiniertheit zeigen soll, da wenn ich analog zu b) und
> dann mit der sup-Norm von [mm]f[/mm] Abschätze ja
> [mm]\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}x=\infty[/mm] als Faktor stehen
> habe.
>
> d) [mm]|I(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\exp(\mathrm{i}t\cdot x)\mathrm{d}\mu(x)\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\underbrace{\left|\exp(\mathrm{i}t\cdot x)\right|}_{=1}\mathrm{d}\mu(x)=\mu(\mathbb{R}^n)< \infty[/mm]
Zur Wohldefiniertheit gehört schon noch ein wenig mehr. Z.B. wieso ist [mm] $F(\mu)$ [/mm] stetig und linear?
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Injektivität jeweils
> zeigen soll. Auch mit dem Hinweis weiß ich nicht richtig
> etwas anzufangen.
> Ich muss ja zeigen: für
> [mm]\mu,\nu\in\mathscr{M}_f(\mathbb{R}^n)[/mm]
> [mm]\left(F(\mu)=F(\nu)\right)\Rightarrow \left(\mu=\nu\right)[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow[/mm]
> [mm]\left(\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\nu\right)\Rightarrow \left(\mu(B)=\nu(B)\text{ für alle }B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right)[/mm]
Sei $ [mm] (\varphi_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{S}(\mahbb{R}^n) [/mm] $ eine Folge wie im Hinweis.
Dann gilt $ [mm] \int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k\mathrm{d}\nu [/mm] $ für alle [mm] $k\in \mathbb{N}$. [/mm] Zeige nun, dass die linke Seite gegen
$ [mm] \int_{\mathbb{R}^n}\chi_U\mathrm{d}\mu [/mm] $ konvergiert und die rechte Seite gegen $ [mm] \int_{\mathbb{R}^n}\chi_U\mathrm{d}\nu [/mm] $.
Hieraus folgt die Gleichheit der Maße auf den offenen Mengen. Da aber [mm] $\{A \in {\mathbb{R}^n}|\mu(A)=\nu(A)\} [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist (die die offenen Mengen enthält) folgt [mm] $\mu=\nu$.
[/mm]
>
bei b)-d) stimmt an den Definitionen der Abbildung etwas nicht.
>
> Ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen.
>
> Liebe Grüße
> HugATree
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Fr 16.01.2015 | | Autor: | HugATree |
Hallo andyv,
vielen Dank für deine Antwort :)
> Hallo,
>
> >
> > Guten Abend zusammen,
> >
> > ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten und habe
> > etwas Anfangsschwierigkeiten bein der Injektivität.
> > Die Wohldefiniertheit ist kein Problem:
> >
> > a) [mm]|F(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\left|\varphi\right|\mathrm{d}\mu\leq\parallel\varphi\parallel_\infty\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\mu=\parallel\varphi\parallel_\infty\mu(\mathbb{R}^n)< \infty[/mm],
> > da [mm]\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)[/mm] beschränkt und [mm]\mu[/mm]
> > endlich.
> >
> > b) [mm]|G(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f(x)\mathrm{d}x\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\left|\varphi(x)\right|\left|f(x)\right|\mathrm{d}x\leq\parallel\varphi\parallel_\infty\underbrace{\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|\mathrm{d}x}_{<\infty\text{, da }f\in L^1(\mathbb{R}^n)}< \infty[/mm]
>
> >
> > c) Hier weiß ich noch nicht genau, wie ich die
> > wohldefiniertheit zeigen soll, da wenn ich analog zu b) und
> > dann mit der sup-Norm von [mm]f[/mm] Abschätze ja
> > [mm]\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}x=\infty[/mm] als Faktor stehen
> > habe.
> >
> > d) [mm]|I(\mu)|= \left|\int_{\mathbb{R}^n}\exp(\mathrm{i}t\cdot x)\mathrm{d}\mu(x)\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}\underbrace{\left|\exp(\mathrm{i}t\cdot x)\right|}_{=1}\mathrm{d}\mu(x)=\mu(\mathbb{R}^n)< \infty[/mm]
>
> Zur Wohldefiniertheit gehört schon noch ein wenig mehr.
> Z.B. wieso ist [mm]F(\mu)[/mm] stetig und linear?
Also die Linearität von [mm] $F(\mu)$ [/mm] folgt ja aus der Linearität des Integrals und die Stetigkeit folgt mit
[mm] $$|F(\mu)(\varphi)|=|[\mu](\varphi)|=\left|\int_{\mathbb_{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}|\varphi|\mathrm{d}\mu\leq\mu(\mathbb{R}^n)\parallel \varphi \parallel_\infty=\mu(\mathbb{R}^n)p_0(\varphi)$$
[/mm]
mit [mm] $p_N(\varphi):=\max\limits_{|a|\leq N}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}^n}(1+|x|^N)|\partial^\alpha\varphi(x)|$. [/mm] Damit ist [mm] $F(\mu)$ [/mm] nach einem Satz aus der VL stetig.
> > Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Injektivität
> jeweils
> > zeigen soll. Auch mit dem Hinweis weiß ich nicht richtig
> > etwas anzufangen.
> > Ich muss ja zeigen: für
> > [mm]\mu,\nu\in\mathscr{M}_f(\mathbb{R}^n)[/mm]
> > [mm]\left(F(\mu)=F(\nu)\right)\Rightarrow \left(\mu=\nu\right)[/mm]
> > [mm]\Leftrightarrow[/mm]
> >
> [mm]\left(\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\mathrm{d}\nu\right)\Rightarrow \left(\mu(B)=\nu(B)\text{ für alle }B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right)[/mm]
>
> Sei
> [mm](\varphi_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{S}(\mahbb{R}^n)[/mm]
> eine Folge wie im Hinweis.
> Dann gilt
> [mm]\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k\mathrm{d}\nu[/mm]
> für alle [mm]k\in \mathbb{N}[/mm]. Zeige nun, dass die linke Seite
> gegen
> [mm]\int_{\mathbb{R}^n}\chi_U\mathrm{d}\mu[/mm] konvergiert und die
> rechte Seite gegen [mm]\int_{\mathbb{R}^n}\chi_U\mathrm{d}\nu [/mm].
Ich denke, dass man hier mit der majorisierten Konvergenz argumentieren kann, mit der [mm] $\mu-$integrierbaren [/mm] Majorante [mm] $\chi_U$. $(\varphi_k)_{k\in \mathbb{N}}$ [/mm] ist Folge Borel-messbarer Funktionen, die gegen [mm] $\chi_U$ [/mm] konvergiert und damit:
[mm] $$\lim\limits_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}^n}\lim\limits_{k\to\infty}\varphi_k\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_U\mathrm{d}\mu$$
[/mm]
>
> Hieraus folgt die Gleichheit der Maße auf den offenen
> Mengen. Da aber [mm]$\{A \in {\mathbb{R}^n}|\mu(A)=\nu(A)\}[/mm]
> eine [mm]$\sigma$-Algebra[/mm] ist (die die offenen Mengen enthält)
> folgt [mm]$\mu=\nu$.[/mm]
> >
> bei b)-d) stimmt an den Definitionen der Abbildung etwas
> nicht.
Oh, ja, entschuldigung. ich habe die Fehler korrigiert. Es war schon spät, und das hatte unaufmerksames Copy&Paste zur Folge :D
> >
> > Ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen.
> >
> > Liebe Grüße
> > HugATree
>
> Liebe Grüße
Liebe Grüße
HugATree
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Fr 16.01.2015 | | Autor: | andyv |
Ja, stimmt alles.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 16.01.2015 | | Autor: | HugATree |
Ich bin jetzt gerade bei der Injektivität:
Seien [mm] $f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$ [/mm] mit $G(f)=G(g)$, dann gilt:
[mm] $$\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) f(x)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) g(x)\mathrm{d}x$$
[/mm]
[mm] $$\Leftrightarrow \int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) (f(x)-g(x))\mathrm{d}x=0$$
[/mm]
Nun weiß ich nicht genau, wie ich hier $f=g$ folgern kann.
Ich denke, dass eventuell geschicktes Wählen unserer Schwartz-Funktion [mm] $\varphi$ [/mm] zum Ziel führt?
Vielen Dank
Liebe Grüße
HugATree
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Fr 16.01.2015 | | Autor: | andyv |
Ja, man kann f-g durch eine Folge von Schwartz-Funktionen mit kompaktem Träger approximieren.
Einfacher folgt das aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Fr 16.01.2015 | | Autor: | HugATree |
Vielen Dank für deine Antwort :)
Liebe Grüße
HugATree
|
|
|
| |
|
So, ich bin nun fast fertig, nur bei der d) hänge ich noch bei der Injektivität.
Die Stetigkeit von [mm] $I(\mu)$ [/mm] habe ich über den Satz über parameterabhängige Integrale (Stetige Abhängigkeit vom Parameter) gezeigt und die Beschränkt wie im ersten Beitrag von mir.
Jedoch weiß ich jetzt wieder nicht, wie ich die Injektivität zeigen soll. Muss ich dafür vielleicht eine der anderen Teilaufgaben verwenden?
Vielen Dank
Liebe Grüße
HugATree
|
|
|
| |
|
Kann ich vielleicht darüber argumentieren, dass wenn [mm] $(g\circ f)$\injektiv [/mm] ist $f$ injektiv sein muss. Betrachten wir also [mm] $J=H\circ [/mm] I$:
[mm] $$J:\mathcal{M}_f(\mathbb{R}^n)\longrightarrow \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n), \mu\mapsto H(I(\mu))$$
[/mm]
Dann ist für [mm] $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$:
[/mm]
[mm] $J(\mu)(\varphi)=H(\psi_\mu)(\varphi)=[\psi_\mu](\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\psi_\mu(x)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\left(\int_{\mathbb{R}^n}\exp(\mathrm{i}x\xi)\mathrm{d}\mu(\xi)\right)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\exp(\mathrm{i}x\xi)\mathrm{d}\mu(\xi)\mathrm{d}x=\overset{\text{Fubini-}}{\underset{\text{Tonelli}}{=}}\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\exp(\mathrm{i}x\xi)\mathrm{d}x\mathrm{d}\mu(\xi)$\\
[/mm]
[mm] $=\int_{\mathbb{R}^n}(\mathcal{F}_{\mathbb{R}^n}\varphi)(\xi)\mathrm{d}\mu(\xi)\overset{\text{a)}}{=}F(\mu)(\mathcal{F}_{\mathbb{R}^n}\varphi)$
[/mm]
Damit müsste dann ja die Injektivität für $J$ (da $F$ injektiv) folgen und damit die Injektivität von J, oder nicht?
Vielen Dank
Liebe Grüße
HugATree
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Di 20.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 20.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
