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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Sa 01.01.2005 | | Autor: | mando |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=11151
Wir haben über die Ferien die Aufgabe:
Gibt es eine stetige Funktion u: [-1,1]->R ,so dass für alle stetigen Funktionen f: [-1,1]->R die Gleichung
[mm] \integral_{-1}^{1} {f(t)u(t) dt} = f(0)[/mm]
gilt?
gehabt und ich sitz schon die ganze Zeit daran, komm aber auf nichts vernünftiges. Das einzige worauf ich gekommen bin war:
[mm] \integral_{-1}^{1} {u(t) dt} = 1[/mm]
Kann mir jemand helfen? ein Ansatz oder ne Idee wärschon schön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo mando!
Nein, es kann keine solche Funktion geben. Nur eine Distribution, die sogenannte Delta-Distribution, kann diese Bedingungen erfüllen.
Idee: Zeige, dass für alle [mm] $x_0 \in [/mm] [-1,1]$, [mm] $x_0 \ne [/mm] 0$, notwendigerweise [mm] $u(x_0)=0$ [/mm] gelten muss (und dann folgt mit Hilfe der bereits von dir hergeleiteten Identität, dass es eine solche Funktion nicht geben kann).
Wie macht man das? Nun, wähle dir ein [mm] $x_0 \ne [/mm] 0$ und nehme [mm] $u(x_0) \ne [/mm] 0$ an, oBdA [mm] $u(x_0)>0$. [/mm] Da $u$ stetig ist, gilt auch $u>0$ auf einer kleinen Umgebung [mm] $U(x_0)$, [/mm] die $0$ nicht enthält. Konstruiere nun eine stetige Funktion mit $f(x) > 0$ für alle $x [mm] \in U(x_0)$, [/mm] $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ und $f [mm] \equiv [/mm] 0$ außerhalb von [mm] $U(x_0)$, [/mm] insbesondere mit $f(0)=0$, etwa eine verstetigte Indikatorfunktion, die [mm] $U(x_0)$, [/mm] aber alle anderen Punkte (insbesondere $0$) nicht im Träger hat.
Dann kommt es locker und leicht hin. Melde dich wieder, wenn du Probleme damit hast. Die kriegen wir schon gelöst.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 So 02.01.2005 | | Autor: | mando |
Jo, danke für die schnelle Hilfe, ich denke ich habe es jetzt verstanden. Ich werd jetzt mal versuchen alles im Zusammenhang aufzuschreiben.
Mfg Matthias
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