Divergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | (a) Sei [mm] $r:=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.$ [/mm] Verifizieren Sie die
Gültigkeit der Gleichung
[mm] \nabla\cdot(\phi(r)\vec{r})=3\phi(r)+r\phi^{\prime}(r).
[/mm]
(b) Für welche [mm] $\phi(r)$ [/mm] ist [mm] $\phi(r)\vec{r}$ [/mm] quellenfrei?
[mm] \(c) [/mm] Wiederholen Sie (b) in zwei Dimensionen. |
Hallo,
bei (a) komme ich immer auf etwas anderes. Hier mal meine Rechnung:
[mm] \nabla\cdot(\phi(r)\vec{r})&=&\partial_{x}(\phi(r)x)+\partial_{y}(\phi(r)y)+\partial_{z}(\phi(r)z)\\&=&3\phi(r)+\partial_{x}\phi(r)+\partial_{y}\phi(r)+\partial_{z}\phi(r)\\&=&3\phi(r)+\phi'(r)(\partial_{x}r+\partial_{y}r+\partial_{z}r)
[/mm]
So nun ist aber der letzte Faktor nach dem [mm] $\phi'(r)$ [/mm] ungleich r.
Wo habe ich da einen Fehler drin?
Wie muss ich denn bei (b) vorgehen? Es muss gelten [mm] \nabla \cdot \phi(r)\vec{r}=0. [/mm]
Ich wollte das erst wie eine Differentialgleichung lösen, aber das geht irgendwie nicht. Entsprechend weiß ich auch nicht recht, wie ich bei (c) vorgehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Calli |
> [mm]\nabla\cdot(\phi(r)\vec{r})&=&\partial_{x}(\phi(r)x)+\partial_{y}(\phi(r)y)+\partial_{z}(\phi(r)z)\\&=&3\phi(r)+\partial_{x}\phi(r)+\partial_{y}\phi(r)+\partial_{z}\phi(r)\\&=&3\phi(r)+\phi'(r)(\partial_{x}r+\partial_{y}r+\partial_{z}r)[/mm]
Es muss heißen:
$ [mm] x\cdot \partial_{x}\phi(r)\;+ [/mm] ...$
usw.
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Unk |
> >
> [mm]\nabla\cdot(\phi(r)\vec{r})&=&\partial_{x}(\phi(r)x)+\partial_{y}(\phi(r)y)+\partial_{z}(\phi(r)z)\\&=&3\phi(r)+\partial_{x}\phi(r)+\partial_{y}\phi(r)+\partial_{z}\phi(r)\\&=&3\phi(r)+\phi'(r)(\partial_{x}r+\partial_{y}r+\partial_{z}r)[/mm]
> Es muss heißen:
> [mm]x\cdot \partial_{x}\phi(r)\;+ ...[/mm]
> usw.
>
> Ciao Calli
Oh ja, dann passt ja alles.
Und wie muss ich dann an den zweiten Teil rangehen. Es muss erfüllt sein [mm] \nabla\cdot \phi(r)\vec{r}=(x,y,z). [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Calli |
> Oh ja, dann passt ja alles.
> Und wie muss ich dann an den zweiten Teil rangehen. Es
> muss erfüllt sein [mm]\nabla\cdot \phi(r)\vec{r}=(x,y,z).[/mm] ??
Wieso ... = (x,y,z) ???
Aufgabe b): Die Divergenz des Vektorfeldes [mm] (\vec{r}\cdot \phi(r))[/mm] soll Null sein !
(Feld soll quellenfrei sein !)
Wann wird die Herleitung aus a) gleich null ?
Ciao Calli
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