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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mo 10.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \not= [/mm] 0. Zeigen sie, dass es für jedes m [mm] \in \IZ [/mm] eindeutig durch m bestimmte q,r [mm] \in \IZ [/mm] gibt mit
m = q*n + r und 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] |n|
q heißt partieller Quotient und r Rest der Division von m durch n. |
Hallo alle Zusammen, wäre nett wenn ihr euch mal kurz meine Gedanken angucken könntet.
Es soll für m [mm] \in \IZ [/mm] eindeutig durch m selbst bestimmte q,r geben.
wenn nun z.B. m=5 dann gilt doch aber
5 = 2 * 2 + 1
5 = 3 * 1 + 2
5 = 4 * 1 + 1
usw. hierbei sehen mir die q,r nicht gerade eindeutig bestimmt aus. kann es sein, dass es heißen müsste "durch n bestimmte q,r" ?
danke im vorraus, die Maxi
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> Sei n [mm]\in \IZ,[/mm] n [mm]\not=[/mm] 0. Zeigen sie, dass es für jedes m
> [mm]\in \IZ[/mm] eindeutig durch m bestimmte q,r [mm]\in \IZ[/mm] gibt mit
>
> m = q*n + r und 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] |n|
>
> q heißt partieller Quotient und r Rest der Division von m
> durch n.
> usw. hierbei sehen mir die q,r nicht gerade eindeutig
> bestimmt aus. kann es sein, dass es heißen müsste "durch n
> bestimmte q,r" ?
Hallo,
nein, das n ist ja fest vorgegeben.
Aber es muß " 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\red{<}[/mm] |n|" heißen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:23 Mo 10.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
> > Sei n [mm]\in \IZ,[/mm] n [mm]\not=[/mm] 0. Zeigen sie, dass es für jedes m
> > [mm]\in \IZ[/mm] eindeutig durch m bestimmte q,r [mm]\in \IZ[/mm] gibt mit
> >
> > m = q*n + r und 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] |n|
> >
> > q heißt partieller Quotient und r Rest der Division von m
> > durch n.
>
> > usw. hierbei sehen mir die q,r nicht gerade eindeutig
> > bestimmt aus. kann es sein, dass es heißen müsste "durch n
> > bestimmte q,r" ?
>
> Hallo,
>
> nein, das n ist ja fest vorgegeben.
>
> Aber es muß " 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\red{<}[/mm] |n|" heißen.
>
> Gruß v. Angela
Hmm, ok. also soll ich zeigen das das für festes n gilt. ok dann sind meine beispiele von oben ja auch schon "bewiese" dafür das das gilt.
stellt sich nur die frage wie das dann zu zeigen geht.
sei m [mm] \in \IZ [/mm] dann gibt es ein q,r [mm] \in \IZ [/mm] mit m = [mm] a(\bruch{m}{q}) [/mm] + r wobei a(x) die ganzzahlige abrundung von x sein soll. in einer vorherigen ÜA habe ich dazu bereits gezeigt das dann r eind. best. ist. Nur müsste ich jetzt ja n:= n/m damit das hinhaut.
hmm, ich glaub da steht schrott... ich bin fast sicher das ich irgendwie ab- bzw. aufrundungen benutzen muss.
wenn ich von m eine zahl r so abziehe, dass m dann ganzzahlig durch mein n zu teilen geht, wobei das ergebniss dann q sein muss hätte ich es ja. aber da gebrauche ich ja auch schon irgendwie das m = qn + r ist.
hat evt. jemand ne idee wie ich das problem umgehen kann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 11.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
Ok hab mich nochmal ne weile hingesetzt bis mir mal klar wurde, dass ich ja gar nicht die formel an sich sondern nur die eindeutigkeit von q und r beweisen muss.
damit hier versuch 2:
Gelte m = qn+r und 0 [mm] \le [/mm] r < |n|
=> 0 [mm] \le [/mm] r/b = a/b - q < 1
=> a/b-1 < q [mm] \le [/mm] a/b , also q = \ a/b / (d.h. abrundung von a/b , bewiesen in meiner letzten serie von aufgaben)
damit erfüllen q = \ a/b / und r = a - bq die behauptung des Satzes und sind hiermit eind. bestimmt.
Ich weiß ja das ich keine Erwartungshaltung an euch alle hegen sollte, aber es wäre wirklich toll wenn jemand ein kommentar dazu abgeben könnte. wann ist auch egal, will einfach wissen ob ich es kappiert habe.
danke im vorraus, die Maxi
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Gäbe es ein weiteres Paar [mm] q_{1}, r_{1} [/mm] mit diesen Eigenschaften. Sei dabei [mm] r_{1} \ge [/mm] r.
Dann folgt 0 [mm] \le r_{1}-r [/mm] < |n| und [mm] r_{1}-r [/mm] = n * [mm] (q-q_{1}).
[/mm]
Also soll n ein Teiler einer Zahl sein, die < |n| ist. Das kann nur 0 sein; also [mm] r_{1} [/mm] = r. Und daraus folgt [mm] q_{1} [/mm] = q.
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Hallo,
eine Möglichkeit, das zu lösen, habe ich eben hier vorgestellt.
Gruß v. Angela
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