Doppelintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 13.06.2007 | | Autor: | unwanted |
| Aufgabe | Man berechne [mm] \integral{} \integral_{G}^{}{f(x, y)d(x, y)} [/mm] :
a) für f(x, y) = [mm] x^2 [/mm] y und das Dreieck G mit den Eckpunkten (0,0), (0,3), (1,0)
b) für f(x, y) = [mm] x^2 [/mm] y und das Dreieck G mit den Eckpunkten (0,3), (1,0), (1,3) |
Hallo :)
Ich weiß wie ich diese Aufgabe berechnen muss, ich bin mir nur mit den Grenzen die ich einsetzen muss nich klar. Ich habe schon ne Weile rum probiert ich bekomme aber nix vernünftiges raus. Kann mir bitte jemand helfen?
für a) lautet die Formel für die Gerade durch die Punkte (0,3) und (1,0) -3x+3 ...
[mm] \integral{} \integral_{G}^{}{f(x, y)d(x, y)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{-3x+3}{(f(x^2y)dy)dx} [/mm]
dies ist wohl nich richtig, aber was sind die richtigen Grenzen?
und eine Nebenfrage: ist (x^2y)dy = [mm] \bruch{1}{2}x^2y^2 [/mm] ??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Do 14.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Zunächst auf deine Nebenfrage:
f(x)*y*dy ist eine Infinitesimale Größe die im Regelfall
gleich 0 ergibt.
Ich vermute Du interessierst Dich für
[mm] \integral{f(x)*y dy}.
[/mm]
Hierin hängt [mm] f(x)=x^2 [/mm] gar nicht von y ab und kann als "Konstante"
aus dem Integral herausgezogen werden:
f(x) * [mm] \integral{y dy}
[/mm]
Das beantwortet Deine Frage mit "ja".
Was die Integralgrenzen betrifft:
Das erste Dreieck hat als Kanten die Koordinatenachsen und die
Gerade y=-3x+3. Mach dir am besten eine Skizze des Dreiecks!
[mm] \integral_{x=0}^{1}\integral_{y=0}^{-3x+3} [/mm] {f(x,y) dy dx}
beantwortet hoffentlich Deine erste Frage: Das umschließende Integral läuft auf der x-Achse von 0 bis 1. An jeder Stelle
[mm] x_0\in [/mm] [0,3] läuft y von 0 bis [mm] -3x_0+3. [/mm] Dafür sorgt das innere
Integral.
Da im inneren Integral x noch keine Laufvariable ist kannst
Du es lösen, wobei du x als unbekannte Konstante betrachtest!
[mm] \integral_{y=0}^{-3x+3} [/mm] {f(x,y) dy} =: G(x).
Diese Lösung hängt noch von x ab. Berechne nun wie gewohnt
[mm] \integral_{x=0}^{3}{G(x) dx}.
[/mm]
Sollten die anderen Kanten des Dreiecks NICHT Koordinatenachsen sein
musst Du in den sauren Apfel beißen und Integraldifferenzen berechnen.
Liebe Grüße
Markus-Hermann
|
|
|
|
