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| Aufgabe | Gegeben sei die reelle 3x3 Matrix
[mm]
A =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 2 \\
-6 & 6 &10 \\
9 &-3 & -4
\end{pmatrix} [/mm] mit dem charakteristischen Polynom [mm] P_A(\lambda) = -1\lambda^3 +\lambda^2 +8\lambda -12 [/mm]
Bestimmen Sie die Eigenwerte. |
Hi, also zunächst setze ich das Polynom gleich 0, nach etwas ausklammern "errate" ich die beiden Eigenwerte -3 und 2. Alternativ nach herausfinden des Eigenwertes -3, komme ich per Polynomdivision auf [mm]-\lambda^2 +4\lambda -4[/mm]. Setze ich dieses gleich 0 so erhalte ich als zweiten Eigenwert wieder 2. Das Problem laut Lösung, besitzt diese Matrix den Eigenwert 2 gleich 2 mal. Meine Frage woher, weiß ich, dass diese Matrix mehr als 2 Eigenwerte hat und wenn ich das herausgefunden habe, wie komme ich dann darauf, dass der Eigenwert 2 hier doppelt vorkommt?
Danke schonmal
Gruß Meine Kekse
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> Gegeben sei die reelle 3x3 Matrix
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> [mm]
A =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 2 \\
-6 & 6 &10 \\
9 &-3 & -4
\end{pmatrix}[/mm]
> mit dem charakteristischen Polynom [mm]P_A(\lambda) = -1\lambda^3 +\lambda^2 +8\lambda -12[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Eigenwerte.
>
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> Hi, also zunächst setze ich das Polynom gleich 0, nach
> etwas ausklammern "errate" ich die beiden Eigenwerte -3 und
> 2. Alternativ nach herausfinden des Eigenwertes -3, komme
> ich per Polynomdivision auf [mm]-\lambda^2 +4\lambda -4[/mm]. Setze
> ich dieses gleich 0 so erhalte ich als zweiten Eigenwert
> wieder 2. Das Problem laut Lösung, besitzt diese Matrix
> den Eigenwert 2 gleich 2 mal. Meine Frage woher, weiß ich,
> dass diese Matrix mehr als 2 Eigenwerte hat und wenn ich
> das herausgefunden habe, wie komme ich dann darauf, dass
> der Eigenwert 2 hier doppelt vorkommt?
Widerspruch! Ein Polynom 3. Grades hat im Komplexen genau 3 Nullstellen, die Matrix also höchstens 3 Eigenwerte. Wenn du herausfindest, dass sie mehr als 2 Eigenwerte - sprich: mehr als zwei verschiedenen Nullstellen im char. Polynom - hat, muss sie genau drei verschiedene Eigenwerte haben, und keiner kann doppelt vorkommen.
Du hast deine Frage doch schon selbe beantwortet: Du findest heraus, welche Nullstellen das Polynom hat und welche dabei doppelt vorkommen.
Beispiel:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
hat die Eigenwerte 1, 2 und 3,
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
hat die Eigenwerte 1 und 2, aber 2 doppelt
und
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
hat den Eigenwert 2 dreifach.
>
> Danke schonmal
> Gruß Meine Kekse
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> Gegeben sei die reelle 3x3 Matrix
>
> [mm]
A =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 2 \\
-6 & 6 &10 \\
9 &-3 & -4
\end{pmatrix}[/mm]
> mit dem charakteristischen Polynom [mm]P_A(\lambda) = -1\lambda^3 +\lambda^2 +8\lambda -12[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Eigenwerte.
> also zunächst setze ich das Polynom gleich 0,
> nach etwas ausklammern "errate" ich die beiden Eigenwerte -3 und 2
Hallo,
wenn Du das erraten hast, weißt Du, daß [mm] P_A(\lambda)=(\lambda +3)(\lambda-2)*(weiterer \quad [/mm] Linearfaktor),
und den fehlenden Linearfaktor (und damit die dritte Nullstelle) bekommst Du durch Polynomdivision.
>Alternativ nach herausfinden des Eigenwertes -3, komme
> ich per Polynomdivision auf [mm]-\lambda^2 +4\lambda -4[/mm].
Genau.
Jetzt weißt Du:
[mm] P_A(\lambda)=(\lambda [/mm] - [mm] (-3))(-\lambda^2 +4\lambda [/mm] -4)
[mm] =-(\lambda [/mm] - [mm] (-3))(\lambda^2 -4\lambda [/mm] +4)
> Setze
> ich dieses gleich 0 so erhalte ich als zweiten Eigenwert
> wieder 2.
Wenn Du die quadratische Gleichung [mm] \lambda^2 -4\lambda [/mm] +4 löst, bekommst Du
[mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=2, [/mm] also die doppelte Nullstelle 2.
Also ist [mm] \lambda^2 -4\lambda +4=(x-2)^2.
[/mm]
Somit ist [mm] P_A(\lambda)=-(\lambda +3)(\lambda-2)^2,
[/mm]
und wir haben eine einfache Nullstelle bei x=3- und eine doppelte bei x=2.
LG Angela
> Das Problem laut Lösung, besitzt diese Matrix
> den Eigenwert 2 gleich 2 mal. Meine Frage woher, weiß ich,
> dass diese Matrix mehr als 2 Eigenwerte hat und wenn ich
> das herausgefunden habe, wie komme ich dann darauf, dass
> der Eigenwert 2 hier doppelt vorkommt?
>
> Danke schonmal
> Gruß Meine Kekse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Sa 12.04.2014 | | Autor: | MeineKekse |
Super vielen Dank ihr beiden, habs jetzt verstanden :)
Gruß
MeineKekse
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