Drehimpuls - reduzierte Masse < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Bei einem Zweikörper-Problem ist der Drehimpuls bzgl. dessen Schwerpunkt:
$ [mm] \vec{L}=\vec{L_1}+\vec{L_2} [/mm] $
= [mm] m_1(\vec{r_1}\times\vec{v_1})+m_2(\vec{r_2}\times\vec{v_2})
[/mm]
Jetzt kommt meine Frage, nämlich die Ersetzung von r1 und r2:
$ = [mm] m_1((\bruch{\mu}{m_1}\vec{r})\times(\bruch{\mu}{m_1}\vec{v}))+m_2((-\bruch{\mu}{m_2}\vec{r})\times(-\bruch{\mu}{m_2}\vec{v})) [/mm] $
r ist der Verbindungsvektor zwischen den beiden Körpern
Um das irgendwie "herzuleiten", schaue ich mir weiter an (R ist nachfolgend der Vektor zum Schwerpunkt beider Körper und M die Summe beider Massen):
[mm] \vec{r_2}=\vec{R}-\bruch{m_1}{M}*\vec{r}
[/mm]
= [mm] \bruch{m_1*\vec{r_1}+m_2*\vec{r_2}}{M}-\bruch{m_1}{M}*(\vec{r_1}-\vec{r_2}) [/mm]
Ich denke, man muss letztre Gleichung umformen usw, aber ich bekomme irgendwie nur Schwachsinn raus.
Danke für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 09.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bei einem Zweikörper-Problem ist der Drehimpuls bzgl.
> dessen Schwerpunkt:
>
> [mm]\vec{L}=\vec{L_1}+\vec{L_2}[/mm]
>
> =
> [mm]m_1(\vec{r_1}\times\vec{v_1})+m_2(\vec{r_2}\times\vec{v_2})[/mm]
>
> Jetzt kommt meine Frage, nämlich die Ersetzung von r1 und
> r2:
>
> [mm]= m_1((\bruch{\mu}{m_1}\vec{r})\times(\bruch{\mu}{m_1}\vec{v}))+m_2((-\bruch{\mu}{m_2}\vec{r})\times(-\bruch{\mu}{m_2}\vec{v}))[/mm]
>
> r ist der Verbindungsvektor zwischen den beiden Körpern
Ich nehme an, [mm]\mu=\bruch{m_1m_2}{m_1+m_2}[/mm] soll die reduzierte Masse sein.
Deine Formel ist nur teilweise richtig; sie stimmt nur, wenn der Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt liegt; sonst kommt noch der Drehimpuls des Schwerpunkts um den Ursprung hinzu, also [mm] $M\vec{R}\times\Dot{\Vec{R}}$.
[/mm]
> Um das irgendwie "herzuleiten", schaue ich mir weiter an (R
> ist nachfolgend der Vektor zum Schwerpunkt beider Körper
> und M die Summe beider Massen):
>
> [mm]\vec{r_2}=\vec{R}-\bruch{m_1}{M}*\vec{r}[/mm]
[mm] \bruch{m_1}{M} = \bruch{\mu}{m_2} [/mm] .
>
> =
> [mm]\bruch{m_1*\vec{r_1}+m_2*\vec{r_2}}{M}-\bruch{m_1}{M}*(\vec{r_1}-\vec{r_2})[/mm]
Mühsam. Geh umgekehrt vor:
[mm] \vec{r_1}=\vec{R}+\bruch{\mu}{m_1}\vec{r}[/mm], [mm] \vec{r_2}=\vec{R}-\bruch{\mu}{m_2}\vec{r}[/mm] .
Daher ist
[mm] m_1 \vec{r}_1\times\Dot{\Vec{r}}_1 = m_1 \vec{R}\times\Dot{\Vec{R}} + \mu \vec{r}\times\Dot{\Vec{R}} + \mu \vec{R}\times\Dot{\Vec{r}} + \bruch{\mu^2}{m_1} \vec{r}\times\Dot{\Vec{r}} [/mm] ,
[mm] m_2 \vec{r}_1\times\Dot{\Vec{r}}_1 = m_2 \vec{R}\times\Dot{\Vec{R}} - \mu \vec{r}\times\Dot{\Vec{R}} - \mu \vec{R}\times\Dot{\Vec{r}} + \bruch{\mu^2}{m_2} \vec{r}\times\Dot{\Vec{r}} [/mm] ,
und es bleibt bei Addieren gerade [mm] M \vec{R}\times\Dot{\Vec{R}}[/mm] plus dem gesuchten Term stehen.
Viele Grüße
Rainer
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Habe inzwischen die Lösung auch gefunden und bin ich einfach den umgekehrten Weg gegangen, weswegen ich jetzt erst (so spät) hier reinschaue.
Trotzdem natürlich Danke für die Mühe! :)
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