Dreieck < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
| Aufgabe | Es seien die Punkte A (1 / 1 / 0), B(-1 / 2/ 1) und C(2 / -2 / 3) gegeben. a) Berechnen Sie die Länge der drei Seiten des Dreiecks und bestimmen Sie die Größe aller drei Winkel.
b) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenengleichung in Koordinatenform an.
c) Zusätzlich sei der Punkt D ( 0 / 5 / 0) gegeben. Geben Sie eine Gleichung derjenigen Geraden an, die durch D geht und auf der Ebene E senkrecht steht. |
Ich habe keine Ahnung, was ich hier machen soll. Wie ich das Dreieick ins Koordinatensystem einzeichne, weiß ich, aber dann weiß ich nicht genau, wie ich weiter machen muss. Ich denke mal, dass ich den Satz des Pytagoras nutzen muss, aber den habe ich noch nie in mehreren Ebenen abgewandt. Kann mir jemand bei den Lösungsansätzen helfen?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es seien die Punkte A (1 / 1 / 0), B(-1 / 2/ 1) und C(2 /
> -2 / 3) gegeben. a) Berechnen Sie die Länge der drei Seiten
> des Dreiecks und bestimmen Sie die Größe aller drei
> Winkel.
Die Vektoren [mm] \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] sind ja die "Seitenvektoren" des Dreiecks.
Davon bestimme jetzt mal die Längen, und die Schnittwinkel.
> b) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher
> alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine
> Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenengleichung in
> Koordinatenform an.
Stelle mit [mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB}+\nu*\overrightarrow{AC} [/mm] mal die Ebene in Parameterform auf, und wandele diese dann wie gelernt in Normalen- und Koordiantenform um.
> c) Zusätzlich sei der Punkt D ( 0 / 5 / 0) gegeben. Geben
> Sie eine Gleichung derjenigen Geraden an, die durch D geht
> und auf der Ebene E senkrecht steht.
Die Gerade hat die Form [mm] h:\vec{x}=\vec{d}+\mu*\vec{n} [/mm] wobei [mm] \vec{n} [/mm] der in Teil b) bestimmte Normalenvektor von E ist.
Jetzt bist du erstmal wieder dran, diese Tipps mit konkreten Zahlen zu füllen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
> Hallo
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> > Es seien die Punkte A (1 / 1 / 0), B(-1 / 2/ 1) und C(2 /
> > -2 / 3) gegeben. a) Berechnen Sie die Länge der drei Seiten
> > des Dreiecks und bestimmen Sie die Größe aller drei
> > Winkel.
>
> Die Vektoren [mm]\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] sind ja die "Seitenvektoren" des
> Dreiecks.
>
> Davon bestimme jetzt mal die Längen, und die
> Schnittwinkel.
Kann ich die Längen und die Winkel einfach abmessen?
>
> > b) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher
> > alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine
> > Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenengleichung in
> > Koordinatenform an.
>
> Stelle mit
> [mm]E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB}+\nu*\overrightarrow{AC}[/mm]
> mal die Ebene in Parameterform auf, und wandele diese dann
> wie gelernt in Normalen- und Koordiantenform um.
Ich kenne diese Gleichung leider nicht. Ehrlich gesagt, weiß ich nicht einmal was die Zeichen bedeuten. Ich bin doch nur im Grundkurs.
>
> > c) Zusätzlich sei der Punkt D ( 0 / 5 / 0) gegeben. Geben
> > Sie eine Gleichung derjenigen Geraden an, die durch D geht
> > und auf der Ebene E senkrecht steht.
>
> Die Gerade hat die Form [mm]h:\vec{x}=\vec{d}+\vec{n}[/mm] wobei
> [mm]\vec{n}[/mm] der in Teil b) bestimmte Normalenvektor von E ist.
>
> Jetzt bist du erstmal wieder dran, diese Tipps mit
> konkreten Zahlen zu füllen.
>
> Marius
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo jeffmaus!
> Kann ich die Längen und die Winkel einfach abmessen?
Da in der Aufgabenstellung eindeutig steht "berechnen Sie ..." : nein!
> [mm]E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB}+\nu*\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> Ich kenne diese Gleichung leider nicht. Ehrlich gesagt,
> weiß ich nicht einmal was die Zeichen bedeuten. Ich bin
> doch nur im Grundkurs.
Das ist keine Ausrede. Welche Zeichen genau kennst Du nicht?
Wie habt ihr denn die Parameterform aufgeschrieben?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
in meinem heft steht zur Parameterform nur:
Zwei-Punktform unf Punkt-Richtungsform haben gemeinsam, dass in ihnen der Parameter r vorkommt, der alle reellen Zahlen durchläuft. Daher gibt es für diese Arten von Gleichungen den Oberbegriff der Parametergleichung.
Das ist alles. Da sind keine Gleichungen oder so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Aber ihr habt doch sicherlich schon irgendwann mal Ebenen bestimmt.
[mm] E:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\-2\\5}+r*\vektor{2\\-5\\1}+s*\vektor{-1\\1\\6} [/mm] wäre eine Ebene in Parameterform.
Und
[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}
[/mm]
Und [mm] \overrightarrow{0B}=\vec{b} [/mm] sollte durchaus auch bekannt sein.
Ist jetzt klar, was ich mit [mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB}+\nu*\overrightarrow{AC} [/mm] meine?
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mi 17.06.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo
> >
> > > Es seien die Punkte A (1 / 1 / 0), B(-1 / 2/ 1) und C(2 /
> > > -2 / 3) gegeben. a) Berechnen Sie die Länge der drei Seiten
> > > des Dreiecks und bestimmen Sie die Größe aller drei
> > > Winkel.
> >
> > Die Vektoren [mm]\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}[/mm] und
> > [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] sind ja die "Seitenvektoren" des
> > Dreiecks.
> >
> > Davon bestimme jetzt mal die Längen, und die
> > Schnittwinkel.
>
> Kann ich die Längen und die Winkel einfach abmessen?
Nein.
Schau mal in deine Aufzeichnungen. Für den Betrag eines Vektors git es eine Gleichung. (Da ist eine lange Wurzel, und unter dem Wurzelzeichen steht die Summe von 3 Quadraten.)
Gruß Abakus
> >
> > > b) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher
> > > alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine
> > > Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenengleichung in
> > > Koordinatenform an.
> >
> > Stelle mit
> >
> [mm]E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB}+\nu*\overrightarrow{AC}[/mm]
> > mal die Ebene in Parameterform auf, und wandele diese dann
> > wie gelernt in Normalen- und Koordiantenform um.
>
> Ich kenne diese Gleichung leider nicht. Ehrlich gesagt,
> weiß ich nicht einmal was die Zeichen bedeuten. Ich bin
> doch nur im Grundkurs.
> >
> > > c) Zusätzlich sei der Punkt D ( 0 / 5 / 0) gegeben. Geben
> > > Sie eine Gleichung derjenigen Geraden an, die durch D geht
> > > und auf der Ebene E senkrecht steht.
> >
> > Die Gerade hat die Form [mm]h:\vec{x}=\vec{d}+\vec{n}[/mm] wobei
> > [mm]\vec{n}[/mm] der in Teil b) bestimmte Normalenvektor von E ist.
> >
> > Jetzt bist du erstmal wieder dran, diese Tipps mit
> > konkreten Zahlen zu füllen.
> >
> > Marius
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
Ist das die Formel: /AB/ = Wurzel aus((x1B-x1A)²+(x2B-x2A)²+(x3B-x3A)²)
Oder muss cos darin vorkommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo jeffmaus!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist die Formel für den Abstand zweier Punkte im Raum.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
Dann rauche ich doch nur noch die in der Aufgabenstellung gegebenen Punkte einsetzen und ausrechnen und dann hab ich´s oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Dann rauche ich doch nur noch die in der Aufgabenstellung
> gegebenen Punkte einsetzen und ausrechnen und dann hab
> ich´s oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") . Mit dieser Formel bestimmt man die Länge eines Vektors.
In der Formel für die Schnittwinkel kommt der Kosinus vor.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
Welchen Kosinussatz brauche ich dann, die lementargeometrische Form, die vektorielle Form oder die Skalarproduktform?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit der Formel
[mm] \cos(\alpha)=\bruch{\overbrace{<\vec{p};\vec{q}>}^{\text{Skalarprodukt}}}{\underbrace{|\vec{p}|*|\vec{q}|}_{\text{"Produkt der Beträge"}}}
[/mm]
bestimmst du den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen den Vektoren [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{q}
[/mm]
Marius
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